Fysiikan mallien rakentaminen

Aikaisemmissa luvuissa kävimme läpi fysiikan menetelmin saatua tietoa maailmankaikkeudesta. Tällainen tieto perustuu aina viime kädessä kokeellisuudelle: kokeilemalla keräämme tietoa, jonka avulla rakennamme malleja, joita testaamme uusilla kokeilla. Tämä systemaattinen metodi on kehittynyt pitkän ajan kuluessa ja sen opettelu vie aikansa. Tällä kurssilla aloitamme liikkeen tarkastelulla, myöhemmillä kursseilla tutustumme muun muassa gravitaatioon ja sähkömagnetismiin. 

Lähdetään rakentamaan yksinkertaista mallia esimerkkisysteemin käyttäytymiselle. Seurataan systemaattista tapaa käsitellä mittaustuloksia: 

1. Tehdään mittauksia halutuista suureista (esimerkiksi paikka ja aika). 

2. Viedään mittaustulokset sopivaan koordinaatistoon (esimerkiksi (aika, paikka)-koordinaatisto). 

3. Päätellään kuvaajasta säännönmukaisuutta (esimerkiksi mittauspisteet ovat suoralla). Sovitetaan pisteisiin sopiva käyrä. 

4. Käytetään hyväksi saatua käyrää ja tehdään sen avulla ennusteita systeemin käytöksestä. 

5. Kirjoitetaan käyrää kuvaava yhtälö, jolloin voidaan laskea ennusteita myös ilman kuvaajaa. 

6. Testataan kuinka hyvin mallin antamat ennusteet toteutuvat käytännössä. 

Monimutkaisille ilmiöille mallitkin ovat yleensä monimutkaisempia, mutta noudattavat samanlaista systematiikkaa. Me lähdemme kuitenkin liikkeelle yksinkertaisimmasta tapauksesta: tasaisen liikkeen mallintamisesta. 

Liikkeen tutkiminen 

Fysiikassa puhutaan usein kappaleiden liikkeistä. Kappaleesta tulee ehkä ensimmäisenä mieleen jonkinlainen palikka tai kivi, mutta sopivassa kontekstissa "kappale" voi olla myös vaikkapa ihminen tai vesimolekyyli. Oleellista on, että kappaletta voidaan käsitellä yhtenä palasena, ilman että sen muoto tai hienorakenne vaikuttaa tutkittavaan ilmiöön. Esimerkiksi jääpala voi olla kappale, mutta nestemäinen vesi ei. Jokaisella kappaleella on massa ja se löytyy jokaisena ajanhetkenä jostain paikasta. 

Tasainen liike ja nopeus 

Kuvittele seuraavasi kadulla kävelevää Mattia. Matti on kulkemassa suoraan (tie ei mutkittele) ja silmämääräisesti näyttäisi, että Matin nopeus pysyy koko ajan samana. Haluat tietää kuinka kauan Matilla kestää kulkea 100 metrin matka. Rakennetaan malli Matin liikkeelle, aloitetaan mittaamalla Matin kulkema matka esimerkiksi 2 sekunnin välein. Kun laitat sekuntikellon päälle, Matti on "lähtöpisteessään," eli kuljettu etäisyys mitataan verrattuna tähän kohtaan. 

Matin etäisyys lähtöpisteestä.


Koordinaatistoista käytetään fysiikassa erilaisia nimityksiä. Seuraavat tarkoittavat kaikki samaa asiaa: 

1. (t,x)-koordinaatisto 

2. t,x -koordinaatisto 

3. x(t)-kuvaaja 

4. x t:n funktiona.


Tässä käytetyssä LoggerPro-ohjelmassa on valmis toiminto suoransovitukselle, varmista että löydät vastaavan toiminnon koulussanne käytössä olevasta ohjelmasta, esimerkiksi LibreOffice Calcista.

Silmämääräisesti näyttäisi siltä, että etäisyys kasvaa tasaisesti ajan kuluessa, noin kaksi ja puoli metriä kahdessa sekunnissa. Koska 8 sekunnissa on kuljettu noin 10 metriä, voidaan jo tässä vaiheessa arvata, että 100 metrin matkaan kuluisi tällä vauhdilla noin 80 sekuntia. 

Seuraavaksi viedään mittaustulokset (aika, paikka)-koordinaatistoon,  eli vaaka-akselille tulee aika ja pystyakselille mitattu etäisyys lähtöpisteestä. Useimmiten aikaa merkitään lyhyesti symbolilla t ja etäisyyttä (eli kuljettua matkaa) symbolilla x. 

Aluksi kannattaa piirtää muutama harjoitustehtävien kuvaajista kynällä ja paperilla, sillä se auttaa ymmärtämään ja muistamaan paremmin, mitä tässä tapahtuu. Myöhemmin tällaiset kuvaajat tehdään tietokoneella, esimerkiksi fysiikan mittauksiin tarkoitetulla LoggerPro-ohjelmalla. 

Mittaustulokset näyttäisivät asettuvan suoralle, joten sovitetaan  seuraavaksi suora kulkemaan näiden mittauspisteiden kautta: 

Nyt kun meillä on mittauspisteiden kautta kulkeva kuvaaja,  voimme käyttää sitä arvioimaan Matin paikkaa mittauspisteiden ulkopuolella, esimerkiksi hetkillä t = 5,0 s tai t = 15,0 s. Nyt meillä on yksinkertainen graafinen malli, jonka avulla voimme vastata useisiin sellaisiin kysymyksiin, joihin ei löydy vastauksia pelkkien mittaustulosten avulla. Kun suurennamme kuvaa tarpeeksi, voimme lukea käyrältä vastauksen alkuperäiseen tutkimuskysymykseemme: Matilla kestää noin 76 sekuntia 100 metrin matkan kulkemiseen. 

Mittauspisteiden välisten arvojen lukemista kutsutaan intrapoloinniksi (intra = sisäpuolella) ja pistejoukon ulkopuolelle mentäessä puhutaan ekstrapoloinnista (eksta = ulkopuolella).

Tällaisissa tehtävissä on muutamia tyypillisiä virheitä, joita kannattaa välttää: 

Mittaustulosten analysointi: Logger Pro

Mittaustulosten analysointi: GeoGebra

LibreCalc-ohjelmassa tehtävään graafiseen malliin voit tutustua täältä youtu.be/fZs_cjD8m1E?si=TR5V0TBT2RrVaNhp  

Matemaattinen malli 

Luvun alussa olevassa mallinnusohjeessa on kuusi kohtaa, joista olemme Matin tapauksessa tehneet nyt neljä. Tehdään vielä viides kohta, kuudes edellyttäisi lisää mittauksia. 

Matin liikkeen kuvaaja on suora. Matematiikasta muistamme, että suoran yhtälö (x,y)-koordinaatistossa on aina muotoa y = kx + b, missä k on suoran kulmakerroin ja b on y-akselin leikkauspiste. Jos katsomme Matin liikkeestä rakentamaamme mallia, on se origon kautta kulkeva suora. Matin tapauksessa pystyakselilla on kuljettu matka ja vaaka-akselilla aika, joten suoran yhtälö on muotoa x = k · t + b. 

Aina kun suora leikkaa y-akselin origossa (tämä on tyypillistä tällä kurssilla), b = 0. Tarvitsemme siis vielä kulmakertoimen k, jonka jälkeen voisimme kirjoittaa Matin kulkemalle matkalle x ajan t avulla yksinkertaisen yhtälön x = k · t. 

Suoran kulmakerroin tulee osata määrittää sekä käsin että tietokoneohjelmalla. Tässä tapauksessa LoggerPro antaa sen meille suoraan: k = 1,320 m/s. Näin Matin liikettä kuvaavan suoran yhtälöksi tulee 

Nyt on hyvä aika kerrata materiaalin alussa oleva tiivistelmä suoran kulmakertoimesta.

Matemaattiset taidot

Nyt voimme käyttää tätä matemaattista mallia annettujen kysymysten ratkaisemiseen. Esimerkiksi Matin paikka hetkellä t = 5,0 s saadaan: 

tai jos haluamme tietää kauanko 100 metrin kulkeminen kestää 

Kysymyksiin voi siis vastata joko kuvaajan avulla tai kuvaajaa vastaavan käyrän yhtälön avulla, molemmista tulee sama tulos. Rakentamamme malli (suoran kulmakerroin k = 1,320 m/s ) kertoo meille, että yhden sekunnin aikana Matti kulkee aina 1,32 metriä. Tätä suuretta kutsutaan Matin nopeudeksi. Oikeammin kyseessä on nopeuden suuruus eli vauhti, nopeudella on nimittäin aina myös suunta: 1,320 m/s pohjoiseen on eri asia kuin 1,320 m/s itään, vaikka molemmissa vauhti on sama. Nopeuden suuruus voidaan siis katsoa (aika, paikka) -kuvaajan kulmakertoimesta, silloin kun kuvaaja on suora: 

Tätä ensimmäisen asteen yhtälöä voidaan muokata tarpeen mukaan silloin, kun halutaan ratkaista kuljettu matka ∆x tai siihen käytetty aika ∆t, eli: 

Kertaa ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen materiaalin alusta.

Esimerkki 1: Pertti pyöräilee alamäkeen tasaisella nopeudella 12 m/s . Kuinka kauan Pertillä kestää 70 metrin matka tällä vauhdilla? 

Ratkaisu: Pertin nopeus v = 12 m/s ja kuljettu matka ∆x = 70 m. Ratkaistaan nopeuden yhtälöstä käytetty aika ∆t 

Sijoitetaan tunnetut arvot ja saadaan käytetty aika 

Vastaus: Pertillä kestää noin kuusi sekuntia. 

Onko paikallaan oleminen tasaista liikettä? 

Edellä esitetty Matin liike oli tasaista liikettä, sillä Matin nopeus pysyi koko ajan samana, eli Matti kulki vakionopeudella. Tällainen liikkeen määrittely nopeuden avulla herättää usein kysymyksen: "Jos Matti on paikallaan, hänen nopeutensa ei muutu. Onko hän siis silloinkin tasaisessa liikkeessä?" 

Kun Matti on paikallaan, hän ei ole liikkeessä, eikä siis myöskään tasaisessa liikkeessä. Sanotaan, että Matti on levossa. Kysymykseen kätkeytyy kuitenkin tärkeä huomio liikkeen luonteesta ylipäänsä, joten katsotaan sitä hieman tarkemmin. Vaikka Matti olisi paikallaan, tiedämme hänen kiertävän sekä Aurinkoa että Maan pyörimisakselia, miksei myös Linnunradan keskipistettä - vieläpä aivan uskomattomalla vauhdilla! Onko Matti siis sittenkään levossa? 

Tärkeä huomio liikkeestä on, että se on aina suhteellista. Liike riippuu aina siitä, kuinka sitä katsotaan. Matti on levossa siinä kontekstissa, joka tuntui tässä yhteydessä kaikkein luonnollisimmalta: suhteessa Maan pintaan ja mittausten tekijään. Fyysikot puhuvat tässä yhteydessä usein eri koordinaatistoista: Luokan koordinaatistossa oppilas on paikallaan, mutta Auringon koordinaatissa hän kiertää ympyrärataa Auringon ympäri. Useimmissa tilanteissa liikkeestä puhutaan nimenomaan esimerkiksi suhteessa luokkahuoneeseen, vaikka tätä ei erikseen mainittaisikaan. 

Kiihtyvä liike ja kiihtyvyys 

Edellisessä luvussa katsoimme Matin tasaista liikettä, Matti kulki koko ajan samalla nopeudella v = 1,32 m/s . Se on tietenkin vain yksinkertaisin mahdollinen tapaus: nopeuden suunta sekä suuruus pysyvät koko ajan samoina. Pidämme yksinkertaisuuden vuoksi nopeuden suunnan edelleen vakiona, mutta lähdemme muuttamaan sen suuruutta. 

Katsotaanpa hetken aikaa seuraavaa kuvaajaa, jossa on kuvattu kahden kappaleen (A ja B) liikettä ajan funktiona 

A ja B lähtevät molemmat hetkellä t = 0 s kohdasta x = 0 m. Ne kohtaavat hetkellä t = 6 s kohdassa x = 5 m. Kappaleen B liike on meille tuttua tasaista liikettä: sen kuvaaja on suora, joten nopeus pysyy koko ajan samana. Koska B liikkuu aina kuuden sekunnin aikana viisi metriä, voimme laskea B:n nopeuden 

Kuvaajasta näemme myös, että esimerkiksi ensimmäisen sekunnin aikana A on liikkunut hitaammin kuin B. Kuuden sekunnin jälkeen A on kuitenkin saanut B:n kiinni, joten A:n nopeuden on täytynyt alun jälkeen kasvaa. A:n nopeus ei pysy vakiona, joten A on kiihtyvässä  liikkeessä. 

Miten voisimme kuvata sitä, että A ja B kulkevat ensimmäisen kuuden sekunnin aikana saman matkan? A:n nopeus on ensin pienempi ja sitten suurempi kuin B:n, mutta molemmilla on tällä välillä sama keskinopeus. Molemmat kulkevat ensimmäisen 6 sekuntia keskimääräisellä nopeudella 

Tässä esimerkissä nopeus kasvaa, mutta kiihtyvästä liikkeestä voi puhua aina kun nopeus muuttuu, hidastuva liike on siis myös kiihtyvää liikettä.

Kappaleen A nopeus kasvaa, joten katsotaanpa miten voisimme arvioida kappaleen A nopeutta eri ajanhetkillä. Jos katsomme äsken tekemäämme keskinopeuden määrittämistä, otimme siinä jonkin aikavälin ja tässä ajassa kuljetun matkan, joiden avulla saimme keskinopeuden. Tämä voidaan tietenkin tehdä myös pidemmille tai lyhyemmille aikaväleille. Jos kysyisimme keskinopeutta vaikkapa välillä 0 s ... 2 s, saisimme samalla tavoin kuin yläpuolella tulokseksi 

Hetkellinen nopeus saadaan rajatapauksena, kun aikaväli kutistetaan äärettömän pieneksi. Tällöin kuvassa näkyvä suora sivuaa A:n  liikkeen käyrää. Tällaista suoraa sanotaan käyrän tangentiksi, ja sen kulmakerroin antaa kappaleen hetkellisen nopeuden. A:n tapauksessa voidaan määrittää nopeudet hetkillä t = 0 s ja t = 6 s suoraan Geogebralla. 

Myöhemmin matematiikassa opimme, että funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion "derivaatta" tuossa kohdassa. Tässä tapauksessa nopeus on siis paikan derivaatta.

Geogebra antaa käyrää sivuavien suorien yhtälöt, joista luetaan kulmakertoimet eli halutut hetkelliset nopeudet v(t = 0s) ≈ 0,30 m/s ja v(t = 6s) ≈ 1,8 m/s. 

Tasaisesti kiihtyvä liike 

Kiihtyvän liikkeen yksinkertaisin tapaus on sellainen, jossa nopeus kasvaa (tai pienenee) tasaisesti. Otetaan esimerkkinä vaikka kaltevaa pintaa pitkin rullaavan kuulan nopeuden mittaus sekunnin välein: Kuulan nopeus on alussa v = 0 m/s ja kasvaa jokaisen sekunnin aikana 0, 6 m/s . Tällöin sanotaan, että kuulan "kiihtyvyys" on 

Tarkemmin sanottuna tämä on kiihtyvyyden suuruus, sillä kiihtyvyydellä on aina myös suunta. Tässä tapauksessa kiihtyvyyden suunta on sama kuin liikkeen suunta. 

Kiihtyvyyden yksikkö m/s²  saattaa aluksi tuntua hankalalta. Se on paljon helpompi muistaa, jos ajattelet sen tarkoittavan (m/s)/1s eli kuinka monta metriä sekunnissa nopeus muuttuu yhden sekunnin aikana. 

Voimme piirtää kuulan liikkeestä erilaisia kuvaajia. Jos piirrämme  (aika, nopeus) -kuvaajan, mittaustulokset asettuvat jälleen suoralle. Kiihtyvyys on tämän suoran kulmakerroin, se kertoo kuinka nopeasti liike muuttuu. 

Huomaa, että kiihtyvyys ei aina ole liikkeen suuntaan. Esimerkiksi, jos kappaleen liike hidastuu, sen kiihtyvyys on päinvastainen kuin liikkeen suunta. Jos kappale kääntyy, sen kiihtyvyys on liikettä vastaan kohtisuorassa jne.


Jos kiihtyvyys ei ole tasaista, tulee tilanteesta vielä hieman hankalampi (eikä sitä käsitellä tällä kurssilla). Tällaisessa tapauksessa voimme jälleen puhua keskikiihtyvyystä (kuten keskinopeudesta), joka lasketaan samalla tavoin nopeuden muutoksen ja siihen käytetyn ajan avulla. Jos taas haluamme hetkellisen kiihtyvyyden, meidän tarvitsee katsoa (t,v)-kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. (Kiihtyvyys on siis nopeuden derivaatta.)

Jos taas mittaisimme kuulan paikkaa sekunnin välein, tuloksena ei voi olla suora, sillä kuulan paikka muuttuu sitä nopeammin, mitä pidemmälle ajassa mennään. Tätä ei tarvitse osata laskea, mutta tuloksena olisi seuraavanlainen paraabelin puolikas. 

Tärkeää on siis huomata mitä missäkin kuvaajassa on piirretty, erityisesti mitkä suureet löytyvät koordinaattiakseleilta (ja missä yksikössä). Yleisimmät vastaan tulee (t, x)-kuvaaja sekä (t, v)-kuvaaja, mutta muitakin on toki olemassa. Muista siis syventyä jokaiseen kuvaajaan aina erikseen sen sijaan, että vastaisit tehtävään ensimmäisen mieleesi tulevan asian. 

Esimerkki 2: Määritä seuraavasta kappaleiden A ja B liikkeen kuvaajasta 

a) kappaleiden nopeudet 

b) kumpi kappaleista liikkuu nopeammin 

c) kappaleiden kiihtyvyydet 

Ratkaisu:

 a) Etsitään kummastakin suorasta kulmakerroin, eli katsotaan kuinka monta metriä kappale liikkuu yhden sekunnin aikana 

Kappale A: Muistikolmioista välillä t = 1s ... 5s katsottu kappaleen A nopeus 

Kappale B: Muistikolmioista välillä t = 1s ... 2s katsottu kappaleen B nopeus 

(Huomaa kuinka kappaleen B paikka on muuttunut vastakkaiseen suuntaan kuin A:n paikka.) 

b) Kappaleen A nopeuden suuruus on 0,5 m/s, kappaleen B nopeuden suuruus 1 m/s. B kulkee nopeammin. Miinusmerkki B:n nopeudessa tarkoittaa, että B kulkee vastakkaiseen suuntaan. 

c) Kummankin kappaleen nopeus pysyy vakioina (nopeus ei muutu), joten kummankin kappaleen kiihtyvyys on nolla.