Erilaisia voimia
Meille tähän mennessä tuttuja voimia ovat esimerkiksi painovoima ja pinnan tukivoima. Arkielämän ilmiöissä esiintyy myös muita voimia, katsotaan niistä kolmea: kitkaa, väliaineen vastusta ja nostetta.
Kitka
Newtonin I lain mukaan kappale jatkaa liikettään muuttumattomana, jos siihen vaikuttava kokonaisvoima on nolla. Esimerkiksi, jos kappale liukuu kitkattomalla pinnalla, voit kuvitella kuinka se jatkaa liikettään hidastumatta. Todellisuudessa kappaleen ja pinnan välillä on aina ainakin jonkin verran kitkaa. Minkälaisia vaikutuksia ajattelisit kitkalla olevan?
Ensinnäkin kappaleen liike pikkuhiljaa hidastuu. Toisekseen toisiaan vastaan hankaavat pinnat lämpenevät. (Voit todeta lämpenemisen esimerkiksi hankaamalla käsiäsi yhteen.) Sanotaan, että osa kappaleen liike-energiasta muuttuu lämpöenergiaksi, molempia käsitteitä katsotaan tarkemmin myöhemmillä kursseilla. Mietitään seuraavaksi mitkä tekijät vaikuttavat kitkavoiman suuruuteen. Tiedät kokemuksesta, että toisiaan vasten koskevien pintojen materiaali vaikuttaa paljonkin. Joissain kengissä pito on huomattavasti parempi kuin toisissa ja tämä riippuu siitä kuinka hyvin kengänpohja "tarttuu" alustaan. Tätä pinnoista riippuvaa ominaisuutta kuvataan laskuissa kitkakertoimella, jota merkitään symbolilla µ.
Toinen kitkavoiman suuruuteen vaikuttava asia on se kuinka suurella voimalla pintoja painetaan toisiaan vasten. Jos esimerkiksi haluat lämmittää pöydän pintaa hankaamalla puupalikkaa sitä vasten, lämpenee pöytä sitä nopeammin, mitä kovemmalla voimalla sitä painat. Pöydän pintaan kohdistuva voima on yhtä suuri (ja vastakkaissuuntainen) kuin pöydän palikkaan kohdistava tukivoima. Selkeintä onkin katsoa juuri tukivoimaa, sillä sen suuruuteen tulevat mukaan sekä palikan paino, että kädestäsi tuleva ylimääräinen työntövoima.
Kitkakertoimen ja tukivoiman avulla voidaan kirjoittaa kappaleeseen vaikuttavan kitkavoiman suuruus:
Mitä suurempi kitkakerroin ja mitä suurempi tukivoima, sitä suurempi on kitkavoima. Kitkavoima on vektorisuure, joten sillä on suuruuden lisäksi myös suunta. Useimmissa tilanteissa kitkavoima hidastaa liikettä, jolloin sen suunta on päinvastainen liikkeen suunnalle. Aina ei kuitenkaan ole näin, joten kitkavoiman suunta kannattaa miettiä jokaisessa tilanteessa erikseen.
Esimerkki: Kappale, jonka massa on 10kg, liukuu vaakasuoralla liukkaalla alustalla ja sen nopeus hidastuu kiihtyvyydellä a = −0, 8 m/s². Laske kappaleen ja alustan välinen kitkakerroin.
Ratkaisu: Kappaleeseen kohdistuvan tukivoiman suuruus on sama kuin sen paino
Kitkavoima aiheuttaa kappaleen hidastumisen eli negatiivisen kiihtyvyyden, joten vaakasuoralle liikkeelle pätee yhtälö, josta voimme ratkaista kitkakertoimen:
Saimme kitkakertoimen arvoksi µ ≈ −0, 081, missä miinusmerkki liittyy ainoastaan kitkavoiman suuntaan. Kitkakertoimen kannalta suunnalla ei ole merkitystä ja tulos ilmoitetaan positiivisena µ = 0, 081.
Lepokitka ja liukukitka
Edellisissä esimerkeissä kappale oli koko ajan liikkeessä. Jos otamme edellisen esimerkin tilanteen, mutta aloitamme kappaleen ollessa paikallaan, saamme lisää tietoa kappaleen ja pinnan välisestä kitkasta. Otetaan lisäksi se tilanne, jossa kappale liikkeelle lähdettyään liikkuu tasaisella nopeudella.
Lähdetään vetämään kappaletta jousivaa’alla, joka kertoo meille vetävän voiman suuruuden. Vetävän voiman suuruus on aluksi nolla, ja kasvatamme sitä tasaisesti kunnes kappale lähtee liikkeelle.
Niin kauan kuin kappale pysyy paikallaan, on kitkavoima yhtä suuri kuin vetävä voima. Koska vetävää voimaa koko ajan kasvatetaan, kasvaa myös kitkavoima samassa tahdissa - kitkavoiman suuruus siis vaihtelee. Koska kappale on nyt levossa, kutsutaan tätä lepokitkaksi. Jossain vaiheessa lepokitka saavuttaa tietyn kynnysarvon ja kappale lähtee liikkeelle. Tätä lepokitkan maksimiarvoa kutsutaan lähtökitkaksi. Lähdettyään liikkeelle kappale liikkuu tasaisella nopeudella, joten kitkavoima on jälleen yhtä suuri vetävän voiman kanssa. Kappaleen liukuessa kitkaa kutsutaan liukukitkaksi tai liikekitkaksi. Oleellista on muistaa, että ollessaan paikallaan kappale tarraa paremmin kiinni alustaan kuin ollessaan liikkeellä. Tästä johtuen lähtökitkan maksimiarvo on tyypillisesti suurempi kuin lepokitka.
Esimerkki: Haluat siirtää kaapin huoneen reunalta toiselle. Tiedät, että kaappi lähtee liikkeelle 100 Newtonin voimalla ja liikkeelle lähdettyään se tarvitsee 80 Newtonin työntövoiman tasaisen liikkeen ylläpitämiseksi. Jos työnnät kaappia 85 Newtonin voimalla, minkälaista kappaleen liike on?
Ratkaisu: Täytyy ottaa huomioon kaksi eri tapausta:
1. Kaappi ei ole lähtenyt liikkeelle
2. Kaappi on lähtenyt liikkeelle
1. Työntövoima 85 N ei riitä saamaan kaappia liikkeelle (lähtökitka 100 N), joten se pysyy paikallaan.
2. Kaappi on jo liikkeellä, joten vertaamme työntövoimaa 85 N liukukitkaan 80 N. Kaappiin vaikuttava kokonaisvoima on liikkeen suuntainen vaakasuora voima F = 85 N − 80 N = 5 N, joten kaappi on kiihtyvässä liikkeessä.
Lepokitkan suuruus kasvaa kunnes saavutetaan lähtökitkan arvo (tässä kuvaajassa 4 N). Tämän jälkeen kappale lähtee liikkeelle ja kitka on liukukitkaa (tässä kuvaajassa 3 N).
Vasemmalla jarrutetaan, oikealla kiihdytetään. Onko kyseessä lepokitka vai liukukitka?
Katsotaan vielä kitkavoiman suuntaa esimerkkitapauksen avulla: Ajat autoa ja painat jarrut pohjaan, mitä liikkeelle tapahtuu ja miksi? Auton liike hidastuu auton renkaiden ja tienpinnan välisen kitkan vaikutuksesta. Kitkavoiman suunta on siis päinvastainen kuin liikkeen suunta.
Seuraava tilanne: et painakaan jarrua vaan kaasua, mitä liikkeelle tapahtuu ja miksi? Auton liike kiihtyy ja kiihtyvyys johtuu jälleen renkaiden ja tienpinnan välisestä kitkavoimasta. Nyt voiman suunta on sama kuin liikkeen suunta, sillä nopeus kasvaa eikä pienene. (Tiedät myös, että jos renkaiden ja tien välissä ei olisi kitkaa lainkaan, renkaat pyörisivät tyhjää eikä kiihtymistä tapahdu.)
Kappaleen liikkuessa pinnalla on helppo tehdä jako liukukitkan ja lepokitkan välillä. Kitka on kuitenkin monimutkaisempi ilmiö ja sitä esiintyy myös esimerkiksi nesteiden tai ilmavirran liikkeissä. Yhteistä kaikille näille tilanteille on se, että niissä kaikissa syntyy lämpöä. Tämä muistuttaa meitä lämpöopin II pääsäännöstä ja energian ”huonontumisesta”, sillä syntynyttä lämpöä on mahdotonta saada takaisin kappaleen liike-energiaksi.
Kitkan vaikutus kaltevalla tasolla
Yksinkertaisimmassa tilanteessa vetävä voima F voidaan asettaa liikkeen suuntaiseksi ja kitkavoima Fµ liikesuunnalle vastakkaiseksi. Tällöin vaakasuuntaisen kokonainaisvoiman suuruus on näiden voimien erotus:
Fkok = F − Fµ
Tämän yhtälön avulla voidaan laskea esimerkiksi kappaleen kiihtyvyys tai liikkeensuuntaisen kokonaisvoiman tekemä työ. Tilanne on hieman hankalampi, jos kappaleeseen vaikuttavat voimat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tällöin meidän tarvitsee ensin jakaa voimat toisiaan vastaan kohtisuoriin komponentteihin.
Pystysuorat voimat kumoavat toisensa, vaakasuunnassa lasketaan voimien erotus.
Esimerkki: Jenni laskee pulkalla lumisen mäen alas. Pulkkamäen pituus on 40 metriä ja mäen kaltevuuskulma on 20 astetta. Kuinka kauan Jennin mäenlasku kestää, kun pulkan ja lumen välinen liikekitkakerroin on 0,20.
Ratkaisu: Piirretään tilanteesta havainnollistava kuva ja lisätään siihen oleelliset voimat. Jenniä vetää mäkeä alas painovoima, joten on järkevää heti aluksi jakaa se mäensuuntaiseen ja tätä kohtisuoraan komponenttiin. Asetetaan yksinkertaisuuden vuoksi koordinaatisto siten, että x-suunta on sama kuin mäen suunta ja y-suunta on tätä vastaan kohtisuorassa. Tässä vaiheessa on erittäin oleellista huomata, että painovoimavektorien muodostama kolmio on yhdenmuotoinen mäen ja G:n muodostaman kolmion kanssa (Tarkista tämä itse). Tästä johtuen mäen kaltevuuskulma α on myös G:n ja Gy:n välinen kulma. Näin ollen painovoiman komponenttien suuruuksiksi saadaan:
Haluamme päästä kitkaan käsiksi, joten tarvitsemme tukivoiman suuruuden. Se puuttuu vielä kuvasta, joten lisätään se. Lisätään samalla liikettä vastustava kitkavoima.
Tukivoima on aina pintaa vastaan kohtisuorassa. Tässä tapauksessa sen suuruus on sama kuin y-suuntaisen painovoiman komponentin, sillä kiihtyvyyttä mäen läpi ei ole (y-suuntaiset voimat kumoavat toisensa). Tukivoiman avulla saadaan kitkavoiman suuruus:
Mäen suuntaisesti pulkkaan vaikuttaa kaksi voimaa: painovoiman mäensuuntainen komponentti Gx ja kitkavoima Fµ. Alamäen suuntaisesti laskettu kokonaisvoima on siten:
Tämän avulla voidaan laskea pulkan kiihtyvyys, kun käytetään hyväksi Newtonin II:sta lakia x-suunnassa ja muistetaan, että painovoiman suuruus on G = mg:
Tässä kohtaa kannattaa panna merkille kuinka siistissä paketissa kiihtyvyyden lauseke lopulta on. Jos olisimme ottaneet välituloksia pitkin matkaa, olisi huolimattomuusvirheiden todennäköisyys huomattavasti suurempi.
Nyt kun meillä on kiihtyvyyden lauseke, pitää vielä ratkaista laskuun kuluva aika. Kiihtyvyys on tasaista ja voimme olettaa Jennin lähtevän alkunopeudella v0 = 0 lähtöpaikasta x0. Käytetään laskukaavaa tasaisen kiihtyvyyden ja paikan välillä
Kuljettu matka x(t) − x0 on 40 metriä ja kaikki muutkin arvot tiedetään, joten sijoitetaan ne laskukaavaan ja syötetään laskimeen:
Vastaus: Jennin mäenlasku kestää noin 7 sekuntia
Väliaineen vastus
Toinen meille arjesta tuttu liikettä vastustava voima on väliaineen vastus, esimerkiksi ilmanvastus. Kivi putoaa nopeammin kuin höyhen, jos ilma vastustaa sen liikettä - tyhjiössä molemmat putoavat yhtä nopeasti. Samoin tiedät kuinka kivi putoaa hitaammin vedessä kuin ilmassa.
Syynä on väliaineen vastus, joka on siis vedessä suurempi kuin ilmassa. Väliaineen vastus on ilmiönä monimutkainen, sillä se perustuu osittain väliaineessa tapahtuvaan turbulenssiin, joka on luonteeltaan kaoottista. Sitä voidaan kuitenkin tutkia kokeellisesti ja tällaisella tutkimuksella on keskeinen rooli esimerkiksi autojen ja lentokoneiden suunnittelussa.
Väliaineen vastus voidaan ajatella johtuvan työstä, joka joudutaan tekemään kappaleen lähellä olevien molekyylien liikuttamiseksi. Väliaineen molekyylit pitää siirtää kappaleen tieltä, jotta kappale ”mahtuu” siirtymään eteenpäin. Tästä aiheutuvat vuorovaikutukset näkyvät meille makroskooppisella tasolla liikettä vastustavana voimana.
Tiheämmät väliaineet vastustavat kappaleen liikettä eniten. Samoin on selvää, että pinta-alaltaan suurien kappaleiden liikkeeseen kohdistuu suurempi vastusvoima. Oleellinen osa on myös kappaleen muodolla: vesipisarat ovat pisaran mallisia juuri minimoidakseen ilmanvastuksen. Pallonmuotoiseen vesipisaraan kohdistuisi huomattavasti suurempi vastusvoima.
Viimeinen vaikuttava tekijä on kappaleen nopeus. Tiedät kokemuksesta, että pyöräillessäsi ilmanvastus on sitä suurempi, mitä kovempaa vauhtia kuljet. Tästä johtuen esimerkiksi putoavilla kappaleilla liikettä vastustava voima kasvaa kappaleen kiihtyvän liikkeen mukana - tämä jatkuu kunnes vastustavasta voimasta tulee yhtä suuri kuin kappaleen paino, minkä jälkeen kappale putoaa tasaisella nopeudella.
Yllä olevien suureiden avulla voidaan kirjoittaa yksinkertainen malli väliaineen vastuksen suuruudelle:
Tässä termi cv kuvaa kappaleen muotoa, A on liikettä vastaan kohtisuora pinta-ala, ρ on väliaineen tiheys ja v on kappaleen nopeus. Riippuvuus kustakin suureesta (esim. Fv ∼ v2) voidaan testata kokeellisesti.
Esimerkki: Laskuvarjohyppääjä putoaa tasaisella nopeudella. Laske ilmanvastuksen suuruus, kun hyppääjän ja laskuvarjon yhteenlaskettu massa on 93 kg.
Ratkaisu: Hyppääjällä ei ole kiihtyvyyttä, joten häneen vaikuttava kokonaisvoima on nolla. Ilmanvastus on painovoimalle vastakkainen ja saman suuruinen.
Esimerkki: Edellisen esimerkin laskuvarjohyppääjä avaa varjonsa (A = 8,0 m² , cv = 0,90), jonka jälkeen hän saavuttaa niin sanotun rajanopeuden, eli nopeuden, jolla liike on tasaista. Laske tämä rajanopeus, kun ilman tiheys on ρ = 1,3 kg/m³.
Ratkaisu: Kun rajanopeus on saavutettu, on ilmanvastuksen suuruus sama kuin painovoiman. Tämä laskettiin edellisessä esimerkissä: F ≈ 910 N. Käytetään ylläolevaa ilmanvastuksen kaavaa ja ratkaistaan siitä nopeuden suuruus v:
Laskuvarjohyppääjään pudotessa rajanopeudella on ilmanvastus hänen painonsa suuruinen.
Vastaus: Laskuvarjohyppääjän rajanopeus on noin 14 m/s.
Noste
Jos kannattalet painavaa esinettä ja viet esineen veden alle, tiedät kokemuksesta, että se ”kevenee”. Toisin sanoen sinun tarvitsee kannatella sitä vähemmän, eli käteesi kohdistuva voima pienenee.
Kun kannattelet esinettä, se pysyy paikallaan. Jos esineeseen ei kohdistu muita voimia, kätesi esineeseen kohdistava voima on yhtä suuri kuin esineen paino G. Painovoima kohdistuu alaspäin ja käden tukivoima ylöspäin.
Kun viet esineen veden alle, siihen kohdistuu toinenkin voima ylöspäin: noste. Vesi siis myös kannattelee kappaletta ja pienentää kädeltä vaadittavaa voimaa. Jos kappale pysyy kädelläsi, esineeseen kohdistuvat käden tukivoima ja noste ovat yhteensä yhtä suuret kuin esineen paino. Kiven paino ei siis pienene, vaan ”keveneminen” johtuu nosteesta.
Nosteen suuruus voidaan laskea Arkhimedeen lain avulla: se on sama kuin kappaleen syrjäyttämän väliaineen paino. Nosteen suuruus eli syrjäytetyn väliaineen (esim. veden) paino voidaan laskea kappaleen tilavuuden ja väliaineen tiheyden avulla:
N = mg = ρVg
Laskukaava on yksinkertainen, mutta symbolien merkityksen kanssa pitää olla tarkkana. Kaavassa V on kappaleen tilavuus ja ρ on väliaineen tiheys. Jos vain osa kappaleesta on väliaineessa (esim. kelluva kappale), tulee kaavaan vain väliaineessa oleva osa tilavuudesta. Nosteen suuruus riippuu siis vain kappaleen väliaineessa olevasta tilavuudesta, ei esimerkiksi sen materiaalista.
Esimerkki: Kannattelet kiveä, jonka tilavuus on 12 cm3 ja massa 47 g. Minkäsuuruinen voima käteesi kohdistuu, kun viet kiven veden alle?
Ratkaisu: Kiven tiheys on ρk = 47/12 g/cm3 ja veden tiheys on noin ρv = 1 g/cm3 . Tilanteessa vaikuttaa kolme voimaa, jotka ovat tasapainossa: kiven paino, noste ja käden kiveen kohdistama tukivoima. Näille kolmelle voimalle voidaan kirjoittaa skalaariyhtälö:
Tästä ratkaistaan käden tukivoima F:
Käden tukivoima saadaan siis laskettua kiven painon ja syrjäytetyn vesimäärän painon erotuksena ja tämä näkyy laskussa näiden kahden aineen tiheyksien erotuksena. Sijoitetaan tunnetut suureiden arvot ja lasketaan tukivoiman suuruus:
Vastaus: Käden tukivoiman suuruus on noin 0,34 N. (Ilmassa voima olisi noin 0,46 N.)
Kiveen kohdistuvat voimat ovat kaikki pystysuorassa, joten ne on helppo laskea yhteen. Kappaleen massa voidaan kirjoittaa tiheyden avulla: mk = ρkVk
Esimerkki: Osittain täytetty vesiastia on vaa’alla. Tökkäät sormesi veteen. Kasvaako vaa’an lukema vai ei?
Ratkaisu: Vesi kohdistaa sormeen ylöspäin suuntautuvan voiman, nosteen. Tällä voimalla on Newtonin III lain mukaan vastavoima, joka on samansuuruinen ja vastakkaisuuntainen. Vastavoima kohdistuu veteen alaspäin työntävästi, jolloin vaaka näyttää aiempaa enemmän. Vaa’an lukema siis nousee. Voit ajatella myös niin, että sormessasi tuntuva voima välittyy veden avulla vaa’alle. Tuntemus sormenpäässäsi ja kasvava vaa’an lukema ovat samat riippumatta siitä, onko välissä vettä tai ei.
Katso esimerkki nosteesta ilmassa.
Noste ja hydrostaattinen paine
Noste voidaan tietyissä tapauksissa ajatella muodostuvan paineerosta, joka on kappaleen yläpinnan ja alapinnan välillä. Tämä on käytännössä hyödyllistä silloin, kun ylä- ja alapinnoille tulevat paineet ja niiden aiheuttamat voimat on helppo laskea. Noste on silloin näiden voimien erotus. Alapinnalle kohdistuva voima osoittaa ylöspäin ja se on yläpinnalle kohdistuvaa voimaa suurempi, joten yhteenlaskettuna nämä kaksi voimaa osoittavat ylöspäin, kuten pitääkin.
Esimerkki: Veden alle on upotettu tynnyri, jonka kansi ja pohja ovat vedenpinnan suuntaiset ja pinta-alaltaan A = 1,6 m2. Tynnyri on metrin korkuinen. Laske tynnyriin kohdistuva noste.
Ratkaisu: Hydrostaattinen paine aiheuttaa voiman sekä tynnyrin yläpintaan, että sen alapintaan. Noste saadaan näiden kahden erotuksena:
N = Fa − Fy
Tynnyrin pohjaan kohdistuu suurempi hydrostaattinen paine kuin sen kanteen.
Paineen määritelmän mukaan siihen liittyvä voima voidaan laskea yhtälöstä:
Nyt voidaan kirjoittaa nosteelle:
Paine-ero puolestaan voidaan laskea hydrostaattisen paineen lasku- Kertaa hydrostaattinen paine lämpöopista. kaavaa hyväksi käyttäen (ρ on veden tiheys):
gA Paine-ero ja sitä kautta noste riippuvat siis kannen ja pohjan syvyyserosta, joka tässä tapauksessa on yksi metri. Sijoittamalla suureet saadaan nosteelle:
Vastaus: Tynnyriin kohdistuva noste on noin 16 kN.
Huomaa, kuinka lopullisessa kaavassa esiintyy yhdistelmä tynnyrin korkeus kertaa pohjan pinta-ala, eli tynnyrin tilavuus. Tässäkin laskussa on siis lopulta käytetty ”normaalia” nosteen laskukaavaa: N = ρVg
Tehtävät
1. Kappaletta työnnetään eteenpäin 26 N voimalla. Kappaleen liukukitka on 20 N. Kuinka suuren kiihtyvyyden kappale saa, kun sen massa on 2,0 kg?
a = 3,0 m/s²
2. Kappaleen lähtökitka on 45 N ja liukukitka 37 N. Kappaleen massa on 5,6 kg ja sitä työnnetään 40 N voimalla. Kuinka suuren kiihtyvyyden kappale saa?
Jos kappale ei ole liikkeessä, 40 N työntövoima ei saa sitä liikkeelle. Jos kappale on jo liikkeessä, saa se kiihtyvyyden 0,54 m/s²
3. Kappaletta työnnetään ja sen kiihtyvyys on 2,5 m/s² sekä liukukitka on 8,0 N. Mikä on kappaleeseen vaikuttavan työntävän voiman suuruus? Kappaleen massa on 4,0 kg.
F = 18 N
4. Auton massa on 1000 kg ja nopeus 72km/h. Auto pysäytetään tasaisella tiellä, jossa renkaiden ja tien välinen kitkakerroin on 0,40. Kuinka pitkä matka vähintään tarvitaan auton pysäyttämiseksi?
Vastaus: 51 m
5. Auto jarruttaa ja sen vauhti hidastuu nopeudesta 100 km/h nopeuteen 60 km/h. Laske jarruttavan voiman suuruus, kun hidastuminen tapahtuu 5,0 sekunnin aikana ja auton massa on 800 kg.
Vastaus: 1800 N
6. Ilmanvastus saadaan laskettua alla olevalla kaavalla. Laske ilmanvastuksen suuruus, kun Cv = 0,33, A=2,0 m², ρ = 1, 3 kg/m³ ja v = 100 km/h
Noin 330 N
7. Laske etanolissa kelluvaan puupalaan kohdistuvan nosteen suuruus, kun puupalan tilavuus on 4,0 kuutiosenttimetriä ja 75% palasta on pinnan alapuolella.
Vastaus: 23 mN
8. Ilmaisu "jäävuoren huippu" viittaa vedessä kelluvan jäävuoren pinnan yläpuolisen osan pienuuteen verrattuna jäävuoren kokoon. Kuinka monta prosenttia -4 C -asteisesta jäävuoresta on pinnan yläpuolella, kun pintaveden lämpötila on nolla astetta?
Vastaus: 8,2%
9. Kahden metrin syvyyteen veden alle upotetaan kuutio, jonka sivun pituus on 60 cm. Laske kuution yläpintaan ja kuution alapintaan kohdistuvat hydrostaattisesta paineesta johtuvat voimat ja niiden avulla laatikkoon kohdistuvan nosteen suuruus.
Vastaus: 7,1 kN ja 4,9 kN. Noste on noin 2,1 kN.
Seuraava sivu: Energian ja liikemäärän säilymislait