LÄMPÖLAAJENEMINEN

Kun systeemiin tehdään työtä tai siihen tuodaan lämpöä, sen kokonaisenergia kasvaa. Jos systeemi tekee työtä tai siitä poistuu lämpöä, sen kokonaisenergia pienenee. Tutkitaan seuraavaksi miten sisäenergian muutokset näkyvät eri aineissa. Yksinkertaisten lämpötilamuutosten lisäksi meitä kiinnostavat erityisesti muutokset tilavuudessa ja paineessa, sekä aineen olomuodonmuutokset. Lopuksi tutkimme vielä miten ulkoisen työn avulla voidaan siirtää lämpöä haluttuun suuntaan ja miten lämpöä voi muuttaa ulkoiseksi työksi.

Kun aineen lämpötila kohoaa, sen rakenneosasten lämpöliike lisääntyy. Lisääntyneen liikkeen seurauksena aineen atomien (tai molekyylien) välimatkat kasvavat. Voit ajatella, että vilkkaammin liikkuvat rakenneosaset tarvitsevat hieman enemmän liikkumatilaa. Aineen laajenemista lämpötilan noustessa kutsutaan lämpölaajenemiseksi. Lämpölaajenemisen suuruus on eri aineille erilainen ja riippuu aineen olomuodosta.

Oletamme tässä luvussa lämpötilan muutoksen sellaiseksi, että aineen olomuoto ei muutu (esim. neste ei höyrysty kaasuksi).

Kiinteissä aineissa tämä muutos on hyvin pieni, sillä rakenneosaset ovat tiukasti kiinni omalla paikalla. Esimerkiksi metalliatomit ovat sidottuina metallihilaan, eivätkä juurikaan pääse liikkumaan. Siltikin lämpötilan noustessa niiden värähtely voimistuu ja pientä lämpölaajenemista tapahtuu - esimerkiksi metalliputkien pituus kasvaa tyypillisesti noin prosentin verran, jos lämpötila kasvaa 100 astetta.

Nesteissä rakenneosaset pääsevät liikkumaan vapaammin ja lämpölaajenemistakin tapahtuu yleensä enemmän kuin kiinteillä aineilla, laajeneminen on suuruusluokaltaan tyypillisesti noin kymmenkertainen. Esimerkiksi nesteellä toimivan lämpömittarin toiminta perustuu nesteen laajenemiseen ja siihen, että laajenemisen määrän riippuvuus lämpötilasta tunnetaan tarkasti.

Kaasut laajenevat vielä monta kertaa nesteitäkin enemmän. Kun tietty määrä kaasua laajenee, sen massa pysyy samana tilavuuden kasvaessa. Tällöin kaasun tiheys pienenee, eli kaasu on harvempaa. Esimerkiksi kuumailmapallossa pallon sisällä oleva lämmin ilman on harvempaa kuin ulkopuolella oleva ilma. Tästä seuraa ylöspäin kohdistuva voima noste, jota tutkitaan tarkemmin myöhemmissä moduuleissa.

Lämpölaajenemisen määrä riippuu siis käytetystä aineesta ja sen olomuodosta. Lisäksi voidaan kokeellisesti havaita, että esimerkiksi metallitanko pitenee lineaarisesti lämpötilan kasvaessa. Tästä saadaan pituuden lämpölaajenemiselle laskukaava. Kun lämpötila muuttuu määrän ∆T, muuttuu alkuperäinen pituus l0 määrän

∆l = αl0∆T

Kun tankoa lämmittää, sen pituus kasvaa. Kun sen lämpötila laskee, se lyhenee.

Pituus laajenemisen jälkeen on siten

l = l0 + αl0∆T

Pituuden muutos riippuu alkuperäisen pituuden ja lämpötilan muutoksen lisäksi aineen lämpötilakertoimesta α. Tämä malli toimii yleensä hyvin, kun lämpötilan muutokset ovat pieniä.

Lämpötilakertoimet eri aineille löytyvät taulukkokirjasta. Lämpötilakertoimen yksikkö on 1/K , joten pituuden muutoksen yksiköksi tulee metri niin kuin pitääkin.

Esimerkki: (Kiinteän) raudan lämpötilakerroin on αFe ≈ 11,7 · 10⁻⁶ 1/K . Laske kuinka paljon 50 cm pitkä rautatanko pitenee, jos se kuumennetaan huoneenlämpötilasta (20 ºC) lämpötilaan 300 ºC? Entä jos se jäädytetään lämpötilaan −260 ºC?

Ratkaisu: Lämpötilan muutos kuumennettaessa on ∆T = 280 K, joten rautatanko pitenee määrän

Jos tanko jäähdytetään -260 Celsius-asteeseen, on lämpötilan muutos yhtä suuri, mutta negatiivinen ∆T = −280 K. Tällöin tangon pituuden muutos on sama kuin edellä, mutta se kutistuu. ∆l ≈ −1,6 mm

Vastaus: Kun rautatangon lämpötila muuttuu 280 astetta, sen pituus muuttuu noin 1,6 mm. Kun sitä kuumennetaan, se laajenee ja kutistuu, kun sitä jäähdytetään. Tulokset ovat suuntaa-antavia.

Katso kaksi esimerkkiä lämpölaajenemisesta.

Pinta-alan ja tilavuuden muutokset lämpölaajenemisessa

Pituus, pinta-ala ja tilavuus ovat eri suureita ja niillä on eri yksiköt. Myös niiden muutokset ovat erilaisia - pituuden lämpölaajenemisen laskukaavaa ei voi suoraan käyttää esimerkiksi tilavuuden muutosta laskettaessa.

Yksinkertaisissa tapauksissa tämä kyllä onnistuu, joskin se on hankalaa. Käydään läpi yksinkertainen esimerkki, sillä se valottaa fysiikalle tyypillistä tapaa johtaa yhtä ilmiötä kuvaavasta laskukaavasta toista ilmiötä kuvaava kaava.

Otetaan esimerkiksi neliön mallinen rautalevy, jonka sivun pituus on l ja lämmitetään sitä määrä ∆T. Tällöin sen sivun pituus muuttuu pituuden lämpölaajenemisen laskukaavan mukaisesti

∆l = αl0∆T

Tämä pätee neliön molemmille sivuille, joten alkuperäinen pintaala A0 = l0² muuttuu uudeksi pinta-alaksi A.

Tarkista tämä lasku itse ja katso, että saat saman tuloksen!

Pinta-ala laajenee enemmän suhteessa alkuperäiseen kuin pituus.

Jos avaamme sulut yhtälön oikealla puolella, saamme kolme termiä, joista ensimmäinen on alkuperäinen pinta-ala:

Nyt tapahtuu tärkeä askel: pituuden lämpötilakerroin α on pieni numero, joten sen neliö α² on erittäin pieni numero. Saamme siis suurin piirtein saman tuloksen, jos pudotamme viimeisen termin pois:

A ≈ A0 + 2αA0∆T

Pinta-ala muuttuu siis määrän

∆A ≈ 2αA0∆T

Saimme johdettua pinta-alan lämpölaajenemiselle laskukaavan, jonka toimivuuden voi kuka tahansa tarkastaa kokeellisesti.

Oppikirjoissa tämä tulos kirjoitetaan usein pinta-alan lämpötilakertoimen β ≈ 2α avulla:

∆A = βA0∆T

β on aineelle ominainen vakio, sillä α on aineelle ominainen vakio.

Tilavuuden muutokselle voidaan samalla tavoin johtaa laskukaava

∆V = γV0∆T,

missä tilavuuden lämpötilakerroin γ ≈ 3α.

Tehtävä: Johda tulos γ ≈ 3α tarkastelemalla laajenevaa kuutiota.

Taulukkokirjasta löytyy monille aineille vain pituuden lämpötilakerroin α. Jos lasket pinta-alan tai tilavuuden muutosta, on laskukaava samaa muotoa kuin pituudellekin, mutta lämpötilakerroin pitää kertoa joko kahdella (pinta-ala) tai kolmella (tilavuus).

Esimerkki: Kuparin pituuden lämpötilakerroin on αCu ≈ 16,8 · 10⁻⁶ 1/K . Kuinka paljon säteeltään yhden metrin suuruinen ympyrän mallinen kuparilevy laajenee, jos sen lämpötila nousee 40 astetta?

Ratkaisu: Kuparilevyn alkuperäinen pinta-ala saadaan ympyrän pinta-alan kaavalla

A0 = πr²

Pinta-alan kasvu saadaan pinta-alan lämpölaajenemisen laskukaavalla

Vastaus: levyn pinta-ala kasvaa noin 42 cm².

Esimerkki: Metallilevyä, josta on leikattu irti ympyrän muotoinen kappale lämmitetään. Miten muuttuu reiän pinta-ala lämmityksessä?

Ratkaisu: Lämpölaajeneminen johtuu aineen rakenneosasten lämpöliikkeen lisääntymisestä. Laajenemisen seurauksena jokainen kappaleessa oleva etäisyys kasvaa, sillä se koostuu vierekkäisistä atomeista, joiden keskinäiset etäisyydet kasvavat. Tämä pätee myös esimerkiksi levyssä olevan reiän kehän pituuteen ja siten myös sen säteeseen - ympyrä siis kasvaa. Ympyrän pinta-alan muutos voidaan laskea pinta-alan laajenemisen laskukaavalla.

Ilmiötä voidaan käyttää hyväksi liitettäessä eri materiaaleista valmistettuja osia toisiinsa. Jos esimerkiksi huoneenlämpötilassa eri materiaaleista valmistetut ympyränmallinen reikä ja siihen tuleva metallitanko ovat samankokoiset, saadaan tanko helpommin paikalleen joko lämmittämällä tai viilentämällä kappaleita.

Arkielämässäsi tutumpi esimerkki on jäykän metallikantisen lasipurkin aukaisu. Lämmitettäessä kansi laajenee enemmän kuin lasipurkki, jolloin se aukeaa helpommin.

Milloin tankoa ja levyä pitää kuumentaa ja milloin viilentää? Eli kummalla on suurempi lämpölaajenemiskerroin kussakin tapauksessa, tangolla vai levyllä?

Veden lämpölaajeneminen

Vesi käyttäytyy lämpötilan muutoksissa poikkeuksellisesti. Esimerkiksi huoneen lämpötilasta ylöspäin sille voi kyllä käyttää tilavuuden lämpölaajenemisen laskukaavaa, mutta lähellä jäätymispistettä malli ei enää päde. Tämä johtuu vesimolekyylien keskinäisistä vuorovaikutuksista, joiden takia vesi itseasiassa laajenee (eikä kutistu), kun sen lämpötila laskee alemmas kuin 4 ºC.

Veden tiheys on suurimmillaan noin neljässä celsiusasteessa.

Annettu vesimäärä saavuttaa siis pienimmän mahdollisen tilavuuden noin 4 ºC lämpötilassa, eli sen tiheys on silloin suurin mahdollinen. Ero tiheydesssä ei ole kovin suuri, mutta sillä on luonnossa merkittäviä vaikutuksia. Esimerkiksi järvissä vesi kiertää vuoden aikana pohjan ja pinnan välillä, kun tihein vesi painuu pohjalle. Jos kylmin kerros olisi aina tihein, olisi se koko vuoden ajan järven pohjalla.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Metalliputkea lämmitetään tarkastellen sen lämpölaajenemista. Metalliputken pituuden muutos eri lämpötiloissa on listattu taulukkoon. Tarkastelun alkaessa putki on tasan metrin mittainen ja alkulämpötila T0 = 0 °C.

Määritä graafisesti tutkittavan metallin lämpötilakerroin kyseisellä lämpötila-alueella. Mitä metallia putki on?

Kulta. Katso mallivastaukset.

2. Johda oppikirjoissa yleisesti käytetty pinta-alan lämpötilakerroin β ≈ 2α pituuden lämpölaajenemisen laskukaavan ∆l = αl∆T avulla.

Katso mallivastaukset.

3. Raudasta valmistettu rengas halutaan kiinnittää raudasta valmistetun akselin ympärille. Huoneenlämpötilassa (+22,0 °C) renkaan sisähalkaisija on 80,22 mm ja akselin halkaisija 0,05 milliä tätä suurempi.

a) Mihin lämpötilaan akseli pitää jäähdyttää, jotta rengas saadaan pujotettua sen ympärille?

b) Mihin lämpötilaan rengas pitää kuumentaa, jotta se saadaan pujotettua akselin ympärille?

a) -30 °C

b) 74 °C

4. Junarata Oulu-Tornio välillä on 131,9 km pitkä ja se on rakennettu teräksestä. Arvioi kuinka paljon sen pituus vaihtelee jos ajatellaan lämpötilan vaihtelevan kesän +30 °C:sta talven -30 °C:seen.

100 m

5. Miten selittäisit sen, että vesi on tiheimmillään kun lämpötila on 4 °C astetta? Millä lailla se on yleisestä poikkeavaa kun ajatellaan lämpölaajenemista? Miksi se on oleellista talvella veden kiertokulun kannalta rauhallisissa järvissä?

Vesi käyttäytyy lämpötilan muutoksissa poikkeuksellisesti. Tämä johtuu vesimolekyylien keskinäisistä vuorovaikutuksista, joiden takia vesi itseasiassa laajenee (eikä kutistu), kun sen lämpötila laskee alemmas kuin 4 °C. Eli vaikka vesimolekyylien keskimääräinen liikehteminen väheneekin lämpötilan laskiessa (ja näin mahdollistaen tiiviimmän aineen) alkaa vesimolekyylit muodostaa rakenteita, jotka taas ”vievät” enemmän tilaa.

Järvissä vesi kiertää vuoden aikana pohjan ja pinnan välillä, kun tihein vesi painuu pohjalle. Jos kylmin kerros olisi aina tihein, olisi se koko vuoden ajan järven pohjalla.