Energian ja liikemäärän säilymislait 

Fysiikan tutkimuksessa käytetään jatkuvasti hyväksi erilaisia säilymislakeja. Voidaan jopa sanoa, että säilymislakien olemassaolo monessa mielessä mahdollistaa nykyisen kaltaisen fysiikan tutkimuksen. Suuri osa mittaustuloksistakin on ehdollisia tunnetuille säilymislaeille: esimerkiksi hajonneen hiukkasen massa voidaan päätellä mitatuista suureista koskaan mittaamatta tätä massaa suoraan, koska tiedetään energian ja liikemäärän säilyvän. 

Aloitetaan energian säilymislaista. Se on hyvin yksinkertainen: energian kokonaismäärä säilyy kaikissa prosesseissa. Energiaa voi muuttua muodosta toiseen, mutta se ei häviä eikä sitä tule lisää. Energiaa voi myös siirtyä systeemistä toiseen, mutta sen kokonaismäärä säilyy, aina. 

Energiaa on eri muodoissa: on kappaleiden liikkeeseen liittyvää liike-energiaa, vuorovaikutuksiin liittyvää potentiaalienergiaa ja kappaleen rakenneosasten liikkeisiin ja vuorovaikutuksiin liittyvää sisäenergiaa. 

Yhtälönä säilymislain voisi kirjoittaa siis vaikkapa näin:

Ekok (t1)=Ekok (t2)

missä t1 ja t2 viittaavat kahteen eri ajanhetkeen. Jos otamme huomioon liike-energian Ek, potentiaalienergian Ep ja sisäenergian Es, tulee yhtälö muotoon:

Ek(t1)+ Ep(t1)+ Es(t1) = Ek(t2)+ Ep(t2)+ Es(t2)

Mekaanisella energialla tarkoitetaan kappaleen liike-energian ja potentiaalienergian summaa. Jos tarkastelemme liikkuvia kappaleita tilanteessa, jossa voimme jättää huomiotta niiden mahdolliset sisäenergian muutokset (lämpötila ei muutu merkittävästi), on järkevää puhua mekaanisesta energiasta, sillä vain siinä tapahtuu muutoksia.

Koska sisäenergia ei muutu, se voidaan supistaa pois energian säilymislain yhtälöstä, joka on silloin:

Ek(t1)+ Ep(t1) = Ek(t2)+ Ep(t2)

Tämä on mekaanisen energian säilymislaki: liike-energian ja potentiaalienergian summa

Em = Ek + Ep

säilyy. Huomaa, että mekaaninen energia ei suinkaan säily kaikissa prosesseissa, vaan ainoastaan tietyissä idealisoiduissa tilanteissa, joissa sisäenergia ei muutu.

Liike-energia 

Liike-energia on kappaleen liikkeeseen liittyvää energiaa - mitä enemmän liikettä, sitä enemmän siihen liittyy energiaa. Sitä voi ajatella tuttujen suureiden avulla vaikkapa näin: Mitataan vesiastian lämpötilaa. Liikkeessä oleva kappale (massa m, nopeus v) tippuu veteen. Odotetaan, että liike pysähtyy ja mitataan veden lämpötilan muutos. Lämpötilan muutoksen avulla saadaan laskettua veteen siirtynyt lämpömäärä, joka on sama kuin siihen törmänneen kappaleen liikeenergia ennen törmäystä, sillä kokonaisenergia säilyy. Kappaleen liike-energia on muuttunut veden sisäenergiaksi. 

Seuraavaksi haluaisimme tietää mitkä suureet vaikuttavat kappaleen liike-energiaan. Kappaleen massa vaikuttaa: kaksi samanlaista kappaletta luovuttaisi tietenkin kaksinkertaisen määrän energiaa, joten on helppo uskoa, että liike-energia riippuu massasta lineaarisesti: 

E = c·m, 

missä c on jokin verrannollisuuskerroin, jonka haluamme selvittää. Myös kappaleen nopeus vaikuttaa liike-energiaan, mutta on vähemmän selvää millainen tämä riippuvuus on. Tutkiaksemme sitä katsotaan ensin työn ja voiman välistä yhteyttä.

Työ-energiaperiaatteen mukaisesti tämä työ muuttuu kappaleen energiaksi, eli se saa liike-energiaa. Kappaleen liike-energia muuttuu siis määrän, joka riippuu lineaarisesti pudotuskorkeudesta. Jos kappale on aluksi paikallaan, sillä ei ole liike-energiaa, joten lopullinen liike-energia on tehdyn työn suuruinen

∆Ek = Ek = mgh

Tiedämme, että liike-energia riippuu nopeudesta, mutta emme vielä tiedä miten. Voimme päätellä liike-energian ja kappaleen nopeuden välisen riippuvuuden pudottamalla kappaleen eri korkeuksilta ja mittaamalla sen saaman loppunopeuden.

Koe on tehty oheisessa videossa, ja kokeessa saatavat tulokset on taulukoita ja niistä on piirretty sopiva kuvaaja: 

Huomataan, että jos viemme tulokset (v2, h)-koordinaatistoon, tulee riippuvuudesta lineaarinen. Tämä tarkoittaa, että pudotuskorkeuden ja loppunopeuden välillä on yhteys:

h ∼ v2

Liike-energia riippuu pudotuskorkeudesta lineaarisesti, joten sen täytyy riippua nopeuden toisesta potenssista. Aiemmin päättelimme sen riippuvan lineaarisesti massasta, joten meillä on nyt seuraava työ-energiaperiaatteen mukainen yhtälö:

Tässä a on jokin verrannollisuuskerroin, jonka haluamme vielä määrittää. Voimme supistaa massan pois edellisestä yhtälöstä, jolloin voimme kirjoittaa:

Mittauksessamme saimme kulmakertoimeksi k ≈ 0,04912, jonka avulla voimme laskea a:n:

Verrannollisuuskertoimeksi saadaan puolikas. Koe pitäisi tietenkin toistaa useita kertoja, mutta toimikoon tämä yksittäinenkin koe perusteluna liike-energian laskukaavalle. 

Kappaleen liike-energian määrä saadaan massan ja nopeuden avulla:

Tulos voidaan perustella myös pelkän teorian tasolla, mutta on mukavaa löytää se kokeellisesti.

Potentiaalienergia

Palautetaan mieleen mekaanisen energian säilymislaki

Ek(t1)+ Ep(t1) = Ek(t2)+ Ep(t2)

Puhuimme toistaiseksi vasta liike-energiasta. Mekaanisen energian toinen puoli on potentiaalienergia. Tällä kurssilla käsittelemme vain gravitaatioon liittyvää potentiaalienergia (esim. pallo saa pudotessaan liike-energiaa), mutta potentiaalienergiaa voi liittyä muihinkin vuorovaikutuksiin. Esimerkiksi jännitetyssä jousessa on potentiaalienergiaa, joka vapautuu kun jousi päästetään takaisin tasapainoasemaansa.

Seuraa iloinen yllätys: käsittelimme painovoiman potentiaalienergian jo edellisessä kokeessa, jossa pudotimme palloa. Liike-energian muutos laskettiin painovoiman tekemänä työnä

∆Ek = mgh

Painovoiman tekemä työ on sama asia kuin kappaleen gravitaatiopotentiaalienergia Ep, eli se on sen työn määrä, jonka gravitaatio pystyy kappaleeseen tekemään. Gravitaatioon liittyvän potentiaalienergian lauseke on siis

Ep = mgh

Tämä laskukaava pätee silloin, kun painovoimaa voidaan pitää vakiovoimana. Tämä puolestaan pitää paikkansa esimerkiksi maanpinnan lähellä liikuttaessa, jolloin muutokset gravitaatiovuorovaikutuksen voimakkuudessa ovat pieniä. Jos pallo pudotettaisiin esimerkiksi 100 kilometrin korkeudesta, pitäisi gravitaatiovuorovaikutuksen heikkeneminen kaukana maan pinnasta ottaa huomioon.

Mekaanisen energian säilymislaki

Aiemmin kirjoitimme mekaanisen energian säilymislain näin:

Ek(t1)+ Ep(t1) = Ek(t2)+ Ep(t2)

Nyt meillä on sekä liike-energian että potentiaalienergian lausekkeet, joten voimme kirjoittaa systeemin mekaanisen energian niiden avulla:

Em = Ek + Ep = 1/2mv2 + mgh.

Mekaaninen energia säilyy, joten eri ajanhetkinä t1 ja t2 pätee yhtälö:

Monia ongelmia on huomattavasti helpompi ratkaista tämän säilymislain avulla kuin voimia käyttäen. Muista kuitenkin, että mekaaninen energia säilyy vain, jos sisäenergiassa ei tapahdu muutoksia, eli käytännössä silloin, kun prosessissa ei synny lämpöä.

Katso demonstraatio mekaanisen energian säilymislaista: 

Maksiminopeus riippuu heilahduksen korkeuden neliöjuuresta. Tarvitsemme siis ääriaseman korkeuden verrattuna potentiaalienergian nollatasoon. Tämä saadaan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta:

Korkeuden avulla saadaan nopeus: 

Vastaus: Punnuksen maksinopeus on noin 1,2 m/s.

Konservatiiset voimat ja ei-konservatiiviset voimat 

Mekaanisen energian säilymislaki edellyttää, että tarkasteltavassa prosessissa ei synny lämpöä. 

On helppo kuvitella tilanne, jossa kappale liukuessaan koko ajan menettää liike-energiaa kitkan vaikutuksesta. Tällöin kappaleen mekaaninen energia ei säily, vaan se muuttuu pikkuhiljaa kappaleen ja alustan sisäenergiaksi (pinnat lämpenevät). Koska systeemi ei ole eristetty, sisäenergia vuorostaan säteilee hiljalleen ympäristöön lämpötilaerojen tasoittuessa. 

Tämä tilanne on merkittävällä tavalla erilainen verrattuna tilanteeseen, jossa mekaaninen energia säilyy. Lämpöliike on satunnaista, joten ilmaan säteillyttä lämpöenergiaa on enää mahdotonta muuttaa takaisin kappaleen liike-energiaksi. Kyse on entropian kasvusta, jota kuvaa lämpöopin toinen pääsääntö. 

Tällaista voimaa, joka aiheuttaa mekaanisen energian pienenemistä (esim. kitka), kutsutaan ei-konservatiiviseksi voimaksi ja mekaanisen energian säilyttävää voimaa (esim. painovoima) konservatiiviseksi voimaksi.

Lämpöopin toinen pääsääntö kertoo meille, että kokonaisentropia kasvaa kaikissa prosesseissa, joten kaikissa realistisissa tilanteissa vaikuttaa myös ei-konservatiivisia voimia. On kuitenkin paljon tilanteita, joissa tämä vaikutus on niin pieni, ettei sitä tarvitse huomioida. Hyvä esimerkki tästä on vaikkapa tyhjiössä heiluva pienikitkainen heiluri: Mekaaninen energia säilyy todella pitkään, potentiaalienergia muuttuuu liike-energiaksi ja päinvastoin, mutta tämäkin heiluri pysähtyy, kun odotetaan riittävän kauan. 

Kitkan (tai minkä tahansa muun ei-konservatiivisen voiman) tekemä työ W voidaan ottaa huomioon mekaanisen energian muutoksena, eli se voidaan lisätä mekaanisen energian säilymislain yhtälöön

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen