matemaattiset taidot

Ensimmäisen asteen yhtälöt ja niiden ratkaiseminen

Fysiikan matemaattisia ongelmia ratkaistaessa yksi aivan välttämätön esitieto on ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen, joten se kannattaa kerrata hyvin. Tässä moduulissa tarvitsemme vain kaikkein yksinkertaisimpia ensimmäisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa

Tässä tapauksessa voit tietenkin arvata ratkaisun olevan x = 2, mutta sinun pitäisi osata myös yleinen ratkaisutapa.

Tässä tapauksessa yhtälö jaetaan puolittain x:n kertoimella:

Jatkossakin sinun kannattaa aina palata tähän yksinkertaisempaan tapaukseen, jos olet epävarma miten tällainen yhtälö ratkaistaan. Otetaan sitten täsmälleen sama yhtälö, mutta käytetään eri symboleita

Jos tehtävä on sellainen, että tiedät F:n ja m:n arvot ja sinun pitää ratkaista a, teet aivan samoin kuin yläpuolellakin:

Tulos on siis a = F/m . Lopuksi voisit sijoittaa tähän tehtävässä annetut F:n ja m:n arvot ja saisit numeroarvon myös a:lle.

Vieläkin yksinkertaisempi tapa löytää ratkaisu on verrata yhtälöön 6 = 3 · 2 , sillä tästä tiedät jo valmiiksi tulokset 3 = 6/2 ja 2 = 6/3 .

Täytyy siis olla niin, että myös yhtälössä F = m · a saadaan a:n arvo, kun jaetaan luku F luvulla m, eli a = F/m .

Esimerkki 1: Tiedetään, että a = 4 ja c=24. Ratkaise b:n arvo yhtälöstä a = bc

Ratkaisu:

Tällaiset yhtälöt saattavat aluksi näyttää pelottavilta, mutta säästät itseäsi paljolta turhautumiselta, jos opettelet näiden ratkaisemisen hyvin jo tässä aivan alkuvaiheessa.

Suoran kulmakerroin

Toinen tässä moduulissa tarvittava taito on suoran kulmakertoimen määrittäminen, minkä pitäisi olla tuttua peruskouluasiaa. Katsotaanpa esimerkkisuoran kuvaajaa

Meille tärkeä tieto on kuinka paljon muutosta tapahtuu y-suunnassa, jos teemme annetun suuruisen muutoksen x-suunnassa. Esimerkiksi jos liikumme kuvaajaa pitkin kohdasta x=0 kohtaan x=4, x:n arvo muuttuu 4 askelta ja y:n arvo muuttuu 2 askelta (alussa y=1 ja lopussa y=3).

Tässä on käytetty fysiikalle tyypillistä merkintätapaa: kreikkalainen kirjain ∆ tarkoittaa muutosta. x-suuntainen muutos on 4, eli ∆x = 4. y-suuntainen muutos on 2, eli ∆y = 2. Suoran kulmakerroin k on y-suunnan muutos jaettuna x-suunnan muutoksella eli k = ∆y/∆x . Esimerkkisuoramme tapauksessa tästä tulee k = 2/4 = 1/2. Kulmakerroin kertoo meille kuinka monta yksikköä y muuttuu silloin kun x muuttuu yhden yksikön verran.

Olisimme voineet piirtää kuvassa näkyvän "apukolmion" mihin kohtaa suoraa tahansa. Tarkista itse, että jokaisesta kolmiosta tulee sama kulmakerroin k = 1/2. Kannattaa siis valita sellainen apukolmio, josta muutos on helppo lukea .

Esimerkki 2: Määritä suoran kulmakerroin kuvaajasta

Ratkaisu: Piirretään apukolmio ja katsotaan x-suunnan ja y-suunnan muutokset apukolmiossa. Apukolmion voi jälleen piirtää mihin kohtaan tahansa.

∆x = 4 ja ∆y = −4 (y pienenee 4 yksikköä, joten sen muutos on negatiivinen). Saadaan

Usein muutoksilla on myös jokin yksikkö, kuten metri tai sekunti, esimerkiksi ∆x = 4 s ja ∆y = −4 m. Tätä ei tarvitse mitenkään pelästyä, kaikki laitetaan samaan laskukaavaan, jolloin myös kulmakertoimella on yksikkö: