Gravitaatiovuorovaikutuksen potentiaalienergia

Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta

Gravitaatiovuorovaikutuksen potentiaalienergia

Olemme jo aiemmin puhuneet kappaleen liike-energiasta ja potentiaalienergiasta, erityisesti gravitaatiovuorovaikutukseen liittyvästä potentiaalienergiasta. Näiden lausekkeet olivat

Maan massan vaikutus on ”piilotettuna” putoamiskiihtyvyyden arvoon, joka maanpinnalla on 9,81 m/s² , mutta voi muualla olla erisuuruinen, kuten olemme jo nähneet.

Potentiaalienergian lauseke vaikuttaa hieman erikoiselta, jos sitä pysähtyy miettimään: se riippuu ainoastaan kappaleen massasta, ei lainkaan gravitaation aiheuttajan massasta.

Lauseke mgh pätee vain maanpinnan läheisyydessä ja on lyhyen kantaman erikoistapaus varsinaisesta Newtonin gravitaatioteorian potentiaalienergian lausekkeesta:

Tämä lauseke on aika erilainen aiempaan verrattuna lähtien jo vastakkaisesta etumerkistä. Matematiikan taitomme eivät aivan riitä sen osoittamiseen, että mgh todella seuraa tästä maanpinnan läheisyydessä, mutta kenties pääset johtamaan sen joskus myöhemmin. Samankaltaisuus Newtonin painovoimalain voiman lausekkeeseen on silmiinpistävä: nimittäjässä on yksi r:n potenssi vähemmän ja edessä miinusmerkki, muuten lausekkeet ovat samat.

Negatiivisen etumerkin voi ymmärtää ajattelemalla potentiaalienergian muutoksia. Kun etäisyys Maan keskipisteestä kasvaa, täytyy potentiaalienergiankin kasvaa. Lausekkeessa mgh etäisyys on osoittajassa, joten lausekkeen arvo suurenee, kun etäisyys suurenee. Lausekkeessa

etäisyys on nimittäjässä, joten lausekkeen itseisarvo pienenee, kun etäisyys kasvaa. Kun eteen laitetaan miinusmerkki, lausekkeen arvo lähenee nollaa etäisyyden kasvaessa, eli sen arvo kasvaa niin kuin pitääkin.

Samoin kuin aiemmin mgh-lauseketta käytettäessä, meillä on aina jokin potentiaalienergian nollataso - korkeus lattiaan verrattuna on erisuuruinen kuin korkeus verrattuna maanpintaan. Kun tarkastellaan potentiaalienergian muutoksia, nollatason valinta ei vaikuta tuloksiin. Nyt riittää katsoa, mitä etäisyydelle r pitää tapahtua, että potentiaalienergian lausekkeen arvo menee nollaksi. Mitä suurempi nimittäjä on, sitä pienempi on osamäärän arvo. Tästä seuraa, että lauseke

menee kohti nollaa, kun r kasvaa äärettömän suureksi. Potentiaalin nollataso on siis äärettömän kaukana gravitaation aiheuttajasta.

Potentiaalienergia kasvaa mitä suuremmaksi etäisyys kasvaa ja lähestyy nollaa äärettömän kaukana.

Ääretön ei tarkalleen ottaen ole useinkaan fysiikan kannalta mielekäs käsite, vaan se kannattaa usein ymmärtää tarkoittamaan ”erittäin kaukana”. Esimerkiksi päivän lounaspaikkaa valittaessa saattavat Los Angelesissa sijaitsevat ravintolat olla fyysikon mielessä ”äärettömän kaukana” vaikka matemaatikko olisikin eri mieltä.

Mekaanisen energian säilyminen

Energian säilymislaki on yksi fysiikan hyödyllisimmistä tuloksista. Tilanteissa, joissa ei synny lämpöä, säilyy (eristetyssä systeemissä) kokonaisenergian lisäksi myös mekaaninen energia. Kappaleen mekaaninen energia on sen liike-energian ja potentiaalienergian summa. Tilanteessa, jossa kappale (massa m) vuorovaikuttaa gravitaation välityksellä yhden toisen kappaleen (massa M) kanssa voidaan kirjoittaa:

Huomaa, että koska potentiaalienergian arvo on negatiivinen, voi kappaleen mekaanisen energian kokonaismäärä olla negatiivinen. Tämä ei haittaa laskujen kannalta, sillä meitä kiinnostavat aina energian muutokset.

Mekaanisen energian säilyessä on systeemillä mekaanista energiaa yhtä paljon jokaisella ajanhetkellä. Esimerkiksi kahtena eri aikana (”alussa” t₁ ja ”lopussa” t₂) voidaan kirjoittaa säilymislain yhtälö:

Esimerkiksi tilanteessa, jossa vain kappaleen nopeus ja etäisyys toisesta kappaleesta muuttuvat, tämä tarkoittaa

(alaindeksit 1 ja 2 viittaavat kahteen eri ajanhetkeen.) Mekaanisen energian säilymislain avulla voi määrittää esimerkiksi miten liikeenergiaa muuttuu potentiaalienergiaksi ja päinvastoin. Muista kuitenkin, että mekaaninen energia säilyy vain tilanteissa, joissa ei synny lämpöä.

Esimerkki: Maan pinnalta ammutaan kiväärillä suoraan ylöspäin. Kuinka korkealle luoti nousee, kun sen lähtönopeus on 820 m/s?

Ratkaisu: Oletetaan luodin nousevan riittävän korkealle, jotta gravitaatiovuorovaikutuksen voimakkuus heikkenee merkittävästi emmekä voi käyttää potentiaalienergialla maanpinnalla käytettävää mgh-lauseketta. Alussa luodilla on liike-energiaa ja potentiaalienergiaa, lakipisteessä vain potentiaalienergiaa. Oletetaan mekaanisen energian säilyvän (ei ilmanvastusta) ja käytetään mekaanisen energian säilymislakia:

Huomaa, kuinka luodin massa supistuu pois yhtälöstä eikä sitä siksi tarvitse tuntea.

Lausekkeessa on luodin lähtönopeuden lisäksi Maan massa sekä kaksi eri etäisyyttä Maan keskipisteestä. Haluamme tietää kuinka korkealle luoti nousee, joten ratkaistaan yhtälöstä r₂:

Sijoittamalla tähän lausekkeeseen tehtävänannosta ja taulukkokirjasta löytyvät tiedot saadaan luodin loppuetäisyydeksi Maan keskipisteestä

Nousukorkeus on kahden etäisyyden erotus

h = r₂ − r₁ = 6405 km − 6371 km = 34 km

Vastaus: Luoti nousee noin 34 kilometrin korkeuteen. Tämä on vain noin puoli prosenttia Maan säteestä, joten mgh-lauseke olisi antanut samansuuntaisen tuloksen. Tarkista kuinka iso suhteellinen virhe syntyisi mgh:ta käyttämällä

Esimerkki: Maahan osumakurssilla oleva asteroidin nopeudeksi etäisyydellä 500 km maanpinnasta mitataan 1,5 km/s . Osuessaan maanpintaan nopeus on kasvanut arvoon 22,0 km/s . Arvioi kuinka suuri osa asteroidin mekaanisesta energiasta on muuttunut lämmöksi Maan ilmakehässä.

Ratkaisu: Energian säilymislain mukaan lämpöä syntyy saman verran kuin kappaleen mekaaninen energia on pienentynyt

Lasketaan siis mekaanisen energian muutos alku- ja lopputilanteen välillä

ja koska meitä kiinnostaa kuinka monta prosenttia mekaaninen energia on vähentynyt, verrataan tätä alkuperäiseen mekaaniseen energian määrään:

Sijoittamalla tähän liike-energian ja potentiaalienergian lausekkeet saadaan lauseke, josta asteroidin massa m supistuu pois:

Tunnetut arvot voi sijoittaa jo tähän (etenkin laskinohjelmistoa käytettäessä), mutta sievennetään lauseketta vielä hieman ennen sijoitusta harjoituksen vuoksi:

Tulos näyttäisi nopeasti katsottuna siltä, että mekaanisen energian määrä on kasvanut 7,4% alkuperäiseen verrattuna. Tämä johtuu siitä, että vertailukohtana käytetty mekaanisen energian alkuarvo on negatiivinen, jolloin prosentuaalinen muutos saa positiivisen arvon vaikka suureen arvo pienenee. Suunnan voi ottaa huomioon vertailuprosenttia otettaessa käyttämällä vertailuarvolle aina sen itseisarvoa:

Voit verrata tätä esimerksiksi lämpötilan laskuun viidestä pakkasasteesta kuuteen pakkasasteeseen. Muutoksen suuruus on 20% ja suunta alaspäin.

eli mekaaninen energia pienenee noin 7,4%.

Vastaus: Noin 7% asteroidin mekaanisesta energiasta on muuttunut lämmöksi ilmakehässä. Huomaa kuitenkin, että suhteellinen muutos riippuu potentiaalienergian nollatason valinnasta, sillä mekaanisen energian kokonaismäärä ja siten laskun nimittäjä riippuu siitä. Tässä mielessä saatu 7,4% muutos on fysikaalisesti merkittävä tulos vain niin kauan kuin nollataso pidetään sovittuna äärettömän kauas.

Pakonopeudet

Palataan vielä hetkeksi gravitaatiovoiman alaiseen ympyräliikkeeseen. Tehdään seuraava ajatuskoe: kuvittele, että Maapallo olisi tyhjässä avaruudessa oleva sileä pallo, joka ei pyöri ja sinä olet paikallaan sen pinnalla. Jos gravitaatiovuorovaikutus kytketään hetkeksi pois päältä, huomaat pinnan tukivoiman häviämisen jalkapohjissasi, mutta pysyt levossa. Jos joku tönäisee sinut liikkeelle maanpinnan suuntaisesti, sinuun ei tönäisyn jälkeen vaikuta voimia, joten kuljet suoraviivaisesti eteenpäin Newtonin I lain mukaisesti. Koska Maan pinta on kaareva, irtoavat jalkasi pian maanpinnasta ja muutaman kilometrin jälkeen olet jo selvästi irtautunut maankamaralta. Jos painovoimaa ei kytketä takaisin päälle, jatkat matkaasi avaruuteen.

Jos painovoima kytketään päälle, kun olet jo liikkeellä ja jalkasi ovat irti maasta, saat Maan keskipistettä kohden kohdistuvan kiihtyvyyden, jonka voit laskea putoamiskiihtyvyyden kaavalla. Kuitenkin, jos nopeutesi tässä kohtaa on riittävä, et koskaan putoa maanpinnalle, vaikka kiihtyvyytesi onkin Maata kohti. Tämä on mahdollista, sillä Maapallon kaareva pinta voi kaareutua altasi pois yhtä nopeasti kuin sinä putoat.

Saman idean saat ajattelemalla pallonheittoa. Kädestä irronnut pallo putoaa kohti Maata, mutta jos heität sen vaakasuoraan sellaisella nopeudella, että Maa kaareutuu alta pois samalla nopeudella, pallo vain kiertää Maan ympäri. Pallo ei siis koskaan palaa maanpinnalle, vaikka onkin jatkuvasti vapaapudotuksessa. Tarvittavaa nopeutta kutsutaan ensimmäiseksi pakonopeudeksi ja Maan tapauksessa se on

Maata kiertävän kappaleen ratanopeus saadaan jo aiemmin käytetystä yhtälöstä

ja rajatapaus v₁ saadaan silloin, kun kiertoradan säteeksi otetaan Maan säde.

Maata tasaisella nopeudella kiertävät kappaleet ovat siis vapaapudotuksessa. Ne ovat kiihtyvässä liikkeessä, eikä niihin vaikuta tukivoimia. Ihminen kokee tämän tukivoimien puuttumisen painottomuutena. Painottomuus ei siis edellytä gravitaatiovoiman puuttumista, vaan tukivoimien puuttumista - painavuuden tunne syntyy lattian työntäessä sinua ylöspäin.

Toki myös tyhjässä avaruudessa ilman gravitaatiota tuntuisi painottomalta, mutta silloinkin siksi, että tukivoimat puuttuvat.

Toinen ja kolmas pakonopeus

Maanpinnalta lähtevän kappaleen toinen pakonopeus on se nopeus, jolla kappale pystyy poistumaan Maan gravitaatiokentän vaikutuspiiristä. Tällöin liike-energiaa tulee olla riittävästi, jotta päästäänkiipeämään pois Maan aiheuttamasta gravitaatiopotentiaalienergian kuopasta (periaatteessa äärettömän kauas, käytännössä riittävän kauas).

Toinen pakonopeus voidaan laskea mekaanisen energian säilymislain perusteella siinä tilanteessa, kun lopputilanteessa ei ole Maan suhteen liike-energiaa (rajatapauksessa kappale lopuksi pysähtyy) eikä potentiaalienergiaa. Vain alussa on mekaanista energiaa, joten pätee yhtälö

Tästä saadaan toisen pakonopeuden lausekkeeksi

joka Maan massan ja säteen arvoilla antaa

Tämä on esimerkiksi MAOLin taulukkokirjassa Maalle ilmoitettu pakonopeus.

Kolmas pakonopeus saadaan, kun etsitään nopeus, jolla kappale poistuu myös Auringon gravitaatiokentästä olettaen, että se on jo poistunut Maan gravitaatiokentästä. Toisella pakonopeudella poistutaan kauas Maanpinnalta, mutta gravitaatiopotentiaalienergia Auringon suhteen ei muutu (eli kappale jää Aurinkoa kiertävälle radalle Maan seuraksi). Lasku on samanlainen kuin yllä, mutta potentiaalienergian lausekkeessa on nyt Auringon massa ja Maan etäisyys Auringosta

Tästä ratkaistu kolmas pakonopeus on

Nopeus on huomattavasti suurempi kuin ensimmäiset kaksi pakonopeutta. Tulos alleviivaa Auringon gravitaatiokentän vaikutuksen voimakkuutta suhteessa Maan gravitaatiokentän voimakkuuteen Maan pinnalla, vaikka emme sitä arkielämässä huomaa. Miksi emme huomaa sitä?

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen

1. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Palataan luvun "Gravitaation alainen ympyräliike" tehtävän 8 a-kohtaan, jossa selvitettiin satelliitin ratanopeus. Olkoon kyseisen satelliitin massa 1830 kg. Selvitä nyt tämän satelliitin liike- ja potentiaalienergia samalla korkeudella ja ratanopeudella. Onko satelliitin mekaaninen energia positiivinen vai negatiivinen?

Ek = 7,50 · 10⁹ J

Ep = - 3,58 · 10⁹ J

2. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Eräs raketti lähestyy Kuuta. Raketin nopeus Kuun suhteen on 1219 kilometriä sekunnissa, kun sen etäisyys Kuun keskipisteestä on 62 374 km. Laske raketin nopeus, kun sen etäisyys Kuun pinnasta on vain enää 130 km? Miten raketin nopeus muuttuu? Oletetaan, että raketin mekaaninen energia säilyy.

Nopeus pysyy likimain samana.

3. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Mitä pakonopeudella tarkoitetaan? Pakonopeuksia on kolme, selitä lyhyesti, miten nämä kolme eroavat toisistaan? Anna esimerkkitapaus kustakin pakonopeudesta.

Pakonopeudella tarkoitetaan alkunopeutta, jonka kappale tarvitsee erotakseen toisen kappaleen gravitaatiokentästä, ja systeemiin ei vaikuta gravitaatiovoiman lisäksi muita ulkoisia voimia.

Katso malliratkaisut

4. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Tarkastellaan erään luotaimen pakonopeutta, joka pääsee Maata kiertävälle ympyräradalle ja jää kyseiselle radalle. Selvitä luotaimelle ensimmäinen pakonopeus kolmen desimaalin tarkkuudella.

7,91 km/s

5. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Jatketaan edellistä tehtävää. Nyt luotain vapautuu Maan gravitaatiokentästä ja jää Aurinkoa kiertävälle radalle. Selvitä luotaimelle toinen pakonopeus kolmen desimaalin tarkkuudella.

11,2 km/s

6. [Lisätietoa OPS:n ulkopuolelta] Jatketaan vielä kahta edellistä tehtävää. Kyseinen luotain vapautuu lopulta kokonaan Auringon gravitaatiokentästä. Selvitä luotaimelle kolmas pakonopeus kolmen desimaalin tarkkuudella olettaen, että se on jo valmiiksi ulkona Maan gravitaatiokentästä.

42,1 km/s