Värähtely ja aaltoliike

Tilanteesta riippuen jaksonaikaa kutsutaan myös esimerkiksi heilahdusajaksi tai värähdysajaksi. Värähdysten määrää yhdessä sekunnissa kutsutaan taajuudeksi, jonka symboli on f . Taajuus saadaan jaksonajan avulla 

Tuloksena on suora, jonka kulmakerroin kertoo kuinka paljon voimaa tarvitaan aikaansaamaan halutun suuruinen venymä. Tätä kulmakerrointa kutsutaan jousen jousivakioksi. Jäykemmät jouset venyvät samalla painolla vähemmän kuin löysät jouset, joten niiden jousivakio on suurempi. 

Vektoriyhtälönä kirjoitettuna venyttävän voiman ja jousen venymän suunta tulee vielä ottaa huomioon. Jousivoima on aina vastakkaiseen suuntaan kuin venymä, joten vektorimuodossa voimalla ja venymällä on vastakkaiset merkit: 

Jos venytät jousta yhteen suuntaan ja päästät irti, voima saa sen kiihtyvään liikkeeseen vastakkaiseen suuntaan. 

Mitä tahansa voimaa, joka toteuttaa jousivoiman yhtälön, kutsutaan harmoniseksi voimaksi. Jousivoima on siitä yksi esimerkki, mutta harmonisia voimia on monia muitakin. Harmoniselle voimalle pätee: 

1. Sen suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta. 

2. Sen suunta on kohti tasapainoasemaa. 

Kun jouseen asetetaan punnus, se venyy ja asettuu uuteen tasapainoasemaan, jossa jousivoima ja punnuksen paino ovat tasapainossa. Kun jousi saatetaan värähtelemään tämän tasapainoaseman ympärillä venyttämällä sitä lisää, voidaan puhua uudesta jousivoimasta, joka vaikuttaa värähtelyssä, ja unohtaa alkuperäinen venymä ja painovoima, sillä ne kumoavat toisensa. Tämä voi kuulostaa aluksi sekavalta, mutta auttaa huomaamaan kuinka jousivoimalla yleensä tarkoitetaan nimenomaan värähtelyn aiheuttavaa harmonista voimaa, joka vaikuttaa suhteessa tasapainoasemaan. 

Harmoninen värähtelijä kulkee siis ääriasemasta toiseen tasapainoasemansa kautta ja kullakin hetkellä siihen vaikuttaa harmoninen voima, joka aiheuttaa kiihtyvyyden kohti tasapainoasemaa. Aina, kun tasapainoasema ylitetään, vaihtuu voiman suunta vastakkaiseksi ja samalla kiihtyvästä liikkeestä tulee hidastuvaa liikettä. Värähtelijä saavuttaa siksi suurimman nopeutensa tasapainoasemansa kohdalla, kun taas pienin nopeus (v = 0) löytyy värähtelyn ääriasemista. 

Tämä nähdään myös jousen potentiaalienergiaa tarkastelemalla. Kun jousta venytetään, siihen varastoituu potentiaalienergiaa. Venymän x avulla kirjoitettu jousen potentiaalienergian lauseke on 

Tämän maksimiarvo saavutetaan maksimivenymällä, jolloin x = A, 

Kun venymä palautuu kohti tasapainoasemaa, potentiaalienergiaa muuttuu liike-energiaksi 

Ääriasemassa kaikki energia on potentiaalienergiaa, tasapainoasemassa kaikki energia on liike-energiaa. Siksi nopeus on ääriasemassa nolla ja saavuttaa maksimiarvonsa tasapainoaseman kohdalla. 

Jousivoima on samalla hyvä esimerkki fysiikan mallin (tai ”fysiikan lain”) käytöstä. Jousivoima on suoraan verrannollinen jousen venymään, mutta on selvää, että lailla on tässä tapauksessa hyvin rajallinen soveltuvuusalue. Malli toimii toki hyvin, kun venymät ovat pieniä suhteessa jousen pituuteen, mutta on selvää ettei ole mitään mieltä käyttää harmonisen voiman mallia jouseen, jos venymä on esimerkiksi sata metriä. Jokaisella fysiikan teorialla on oma soveltuvuusalueensa, puhuttiinpa sitten jousivoimasta tai yleisestä suhteellisuusteoriasta. 

Erilaiset jouset värähtelevät eri tavoin. Jos useampaan jouseen on kiinnitetty saman verran venyttävää massaa nähdään, että jäykimpien jousten jaksonajat, eli värähdysajat, ovat kaikkein lyhimmät. Mitä löysempi jousi on, sitä suurempi sen värähdysajasta tulee. Samoin voidaan testata yhdellä jousella miten jouseen kiinnitetty massa vaikuttaa värähdysaikaan - mitä suurempi massa on, sitä pidempi on värähdysaika. 

Teorian tasolla tämä nähdään Newtonin II laista johdettavalla laskukaavalla harmonisen värähtelijän jaksonajalle sen jousivakion ja massan avulla 

Esimerkki: Kevyen jousen päähän on kiinnitetty punnus, jonka massa on paljon suurempi kuin jousen massa. Jousi saatetaan värähtelemään ja mitataan sen värähdysaika. Koe toistetaan kahdella muutoksella, miten ennustat jaksonajan muuttuvat, kun 

a) Jouseen ripustetaan lisäksi toinen samanlainen punnus? 

b) Jousen ja punnuksen väliin lisätään toinen samanlainen jousi? 

Ratkaisu: Molemmissa kohdissa tarkastellaan värähdysajan yhtälöä ja muutetaan joko massaa tai jousivakiota. 

1. Ensin massa kaksinkertaistetaan. Vertaamalla kahta massaa 

Nähdään, että kaksinkertaisella massalla mitattu värähdysaika on noin 41% alkuperäistä pidempi. 

2. Kun lisätään toinen jousi, värähtelijän massa ei merkittävästi muutu, mutta jousivakio muuttuu. Venyttävä voima on sama, joten verrataan jousivoiman yhtälöä kahdessa tilanteessa. Oleellista on huomata, että venyttävä massa venyttää kumpaakin jousta, joten venymästä tulee kaksinkertainen: 

Yhtälöpari toteutuu jos ja vain jos 

Palataan nyt värähdysajan yhtälöön ja verrataan kahta tapausta 

Toisen jousen lisääminen kasvattaa värähdysaikaa saman verran kuin toisen punnuksen lisääminen. 

Vastaus: Punnuksen tai jousen lisääminen pidentää värähdysaikaa noin 41%. 

Tarkista pitääkö seuraava väite paikkansa: Jos lisättäisiin sekä jousi että punnus, tulisi värähdysajasta kaksinkertainen alkuperäiseen verrattuna.

3. Eräässä oppilastyössä tutkittiin jousen pituuden muutosta ripustamalla sen päähän eri massaisia punnuksia. Jousen alkuperäinen pituus on 15,0 cm ja yhden punnuksen massa on 50 grammaa. Tulokset taulukoitiin seuraavasti: 

Seuraava sivu: Aaltoliike