Voima
Tähän mennessä olemme tutkineet suoraviivaista liikettä: kappaleen paikkaa, nopeutta ja kiihtyvyyttä. Seuraavaksi katsomme mistä liikkeen muutokset aiheutuvat. Newtonin klassisessa liikkeen kuvailussa tämä tarkoittaa voimien tutkimista, sillä liikkeen muutokseen tarvitaan aina voima. Newtonin teoria kappaleiden liikkeestä on rakennettu kolmen lain ympärille. Tiivistetysti voidaan sanoa, että voima aiheuttaa kiihtyvyyden ja jos voimaa ei ole, ei ole myöskään kiihtyvyyttä. Tällöin liike ei muutu.
Newtonin lait - Newton I
Newtonin I laki, eli ”jatkavuuden laki,” sanoo, että kappaleen liike ei muutu, jos siihen ei kohdistu voimia.
Tällaisena laki on hieman ongelmallinen, sillä jos kappaleeseen ei kohdistu voimia, se ei ole vuorovaikutuksessa minkään kanssa. Ja jos kappale ei ole minkään kanssa vuorovaikutuksessa, sitä ei voi myöskään havaita. Jos taas kappaletta ei voi edes periaatteessa mitenkään havaita, sitä ei voi tutkia kokeellisessa tieteessä.
Newtonin I lakia voi kuitenkin käyttää useissakin tilanteissa, kunhan se ensin kirjoitetaan hieman eri muotoon: kappaleen liike ei muutu, jos siihen vaikuttava kokonaisvoima on nolla. Toisin sanoen kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat kumoavat toisensa. Tällainen tilanne on esimerkiksi aina silloin, kun kappale on paikallaan.
Paikallaan olevaan kappaleeseen kohdistuvat voimat kumoavat toisensa.
Tehtävät, joissa tarvitaan Newtonin I lakia, ovat yleensä helpompia kuin ne, joissa tarvitaan Newtonin II lakia. Jos kappaleen liike ei muutu, se on joko tasaisessa liikkeessä tai levossa - ja toisinpäin. Hankalinta on yleensä tunnistaa, että kyseessä on juuri tämä tilanne, esimerkiksi seuraavasta esimerkistä täytyy huomata termi tasaisessa liikkeessä ja ymmärtää mitä se tarkoittaa!
Esimerkki: Jaana päättää sisustaa ja työntää kaappia huoneen reunalta toiselle tasaisella nopeudella. Lattiansuuntaisen työntövoiman suuruus on 68 N. Kuinka suuret ovat liikettä vastustavat voimat yhteensä?
Ratkaisu: Kaappi liikkuu tasaisella nopeudella, joten sillä ei ole kiihtyvyyttä. Tällöin siihen kohdistuvan kokonaisvoiman suuruus on nolla. Jaana työntää kaappia 68 Newtonin voimalla, joten täytyy olla olemassa vastakkaissuuntainen voima, joka kumoaa tämän. Vastaus: Liikettä vastustavat voimat ovat suuruudeltaan yhteensä 68 N.
Emme tiedä kappaleen painon ja tukivoiman suuruutta suhteessa kahteen muuhun voimaan, joten ne eivät kuvassa välttämättä ole oikean mittaisia
Newtonin lait - Newton II
Voima liittyy siis aina kahden kappaleen (tai hiukkasen) vuorovaikutukseen. Voiman vaikutus nähdään kappaleen liikkeen muutoksena, eli kappaleen kiihtyvyytenä.
Tiedämme jo kokemuksesta, että jos saman suuruisella voimalla työnnetään kevyttä kappaletta ja raskasta kappaletta, on voiman vaikutus suurempi kevyelle kappaleelle. Kappaleen kykyä vastustaa liikkeen muutosta kutsutaan kappaleen hitaudeksi eli inertiaksi. Tämä hitaus johtuu kappaleen massasta: mitä suurempi massa, sitä enemmän kappale vastustaa liikkeen muutosta.
Tämä ajatus tiivistyy Newtonin II laissa eli dynamiikan peruslaissa näin:
Historiallisesti oli merkittävä havainto, että kappaleen hitauden aiheuttava hidas massa ja kappaleen gravitaatioon liittyvä painava massa ovat yksi ja sama asia. Lue lisää https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle
eli kappaleen saama kiihtyvyys on sama kuin siihen vaikuttava kokonaisvoima jaettuna massalla.
Yhtälössä on vektorimerkit molemmilla puolilla muistuttamassa meitä siitä, että sekä kiihtyvyydellä että voimalla on suuruuden lisäksi myös suunta. Useimmiten fysiikan ongelmissa suunta kannattaa päätellä erikseen, jolloin vain suuruudet tarvitsee laskea:
Yksikkö newton SI-järjestelmän perusyksiköiden avulla on 1 N = 1 kgm/s². Tarkista, että Newtonin II laissa kiihtyvyyden yksikkö tulee oikein.
Esimerkiksi, jos kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on 20 N oikealle (kuten aiemman esimerkin laatikolla), voidaan laskea sen kiihtyvyys, jos massa tunnetaan (vaikkapa 10 kg).
Kappaleen kiihtyvyyden laskemiseksi voimien avulla tarvitsee siis ensin tietää kaikkien voimien suunnat ja suuruudet. Näiden avulla päätellään kokonaisvoiman suunta ja suuruus ja lopuksi saadaan kiihtyvyys jakamalla kappaleen massalla.
Newtonin toinen laki on yksinkertainen ensimmäisen asteen yhtälö, joten sinun pitäisi osata muokata se tarvittaessa eri muotoihin. Jos esimerkiksi tiedetään kappaleen kiihtyvyys (esim. a = 5 m/s²) ja kappaleen massa (esim. m = 10kg), voidaan laskea siihen vaikuttavan kokonaisvoiman suuruus:
Newtonin lait - Newton III
Fysiikan kieli saattaa tuntua aluksi hankalalta, sillä se poikkeaa arkikielestä. Se vaatii hieman harjoittelua, mutta on välttämätöntä, jotta asiat saadaan ilmaistua riittävän selvästi. Viimeistään puhuttaessa voimista, vastavoimista, liikettä vastustavista voimista ja niin edelleen, on tärkeää puhua juuri oikeista asioista.
Otetaan yksinkertainen esimerkki: kahden kappaleen (A ja B) välinen vuorovaikutus. Voidaan sanoa sekä "kappale A kohdistaa voiman F kappaleeseen B" (jos olisimme B, tuntisimme tämän voiman). Kyse on kuitenkin kahden kappaleen välisestä yhdestä vuorovaikutuksesta, jolloin molemmat kappaleet väistämättä tuntevat sen yhtä voimakkaana. Siksi myös seuraavan on oltava totta: "kappale B kohdistaa voiman −F kappaleeseen A". Miinusmerkki kertoo voiman olevan vastakkaissuuntainen.
Tämä on Newtonin III laki, eli voiman ja vastavoiman laki: jokaisella voimalla on yhtä suuri vastakkaissuuntainen vastavoima. Se seuraa suoraan siitä, että voimat liittyvät vuorovaikutukseen, joita on vain yksi. Mäki on yhtä jyrkkä suoraan ylämäkeen kuin suoraan alamäkeen.
Olet jatkuvasti vuorovaikutuksessa Maan kanssa. Teidän välillänne on gravitaatiovuorovaikutus, joka aiheuttaa sinuun Maan keskipistettä kohti kohdistuvan voiman (suuruudeltaan G = mg, missä m on massasi). Newtonin III lain mukaan on olemassa vastavoima: sinä kohdistat Maahan yhtä suuren (F = mg) vastakkaissuuntaisen voiman. Tästä herää heti pari kysymystä:
1. Jos hyppään puusta, liikkeeni muuttuu merkittävästi, minä putoan. Maan liike ei tunnu muuttuvan mihinkään. Eikö silloin pitäisi olla niin, että minuun kohdistuu suurempi voima kuin Maahan?
2. Minuun kohdistuvan voiman suuruus lasketaan minun massani avulla (G = mg). Miksei Maahan kohdistuvaa voimaa lasketa Maan massan avulla?
Vastaukset: 1. Liikkeen muutoksen suuruus nähdään kiihtyvyyden, eikä voiman, suuruudesta. Newtonin toisen lain mukaan sinun saamasi kiihtyvyys on
mutta Maa (massa M) saa kiihtyvyyden
Kiihtyvyys on pieni, koska Maan massa M on suuri verrattuna sinun massaasi.
On myös mahdollista puhua pelkistä vuorovaikutuksista ja jättää voima kokonaan pois fysiikan kuvailusta. Yleensä se kuitenkin otetaan mukaan, sillä se antaa konkreettisen tunteen siitä, miltä vuorovaikutus "tuntuu".
2. Tämä näyttää kieltämättä hieman hassulta, mutta myöhemmissä moduuleissa näemme, että se johtuu yhtälössä G = mg käytetystä yksinkertaistuksesta. "Oikeasti" yhtälön oikealla puolella ovat molempien kappaleiden massat, sekä niiden välinen etäisyys (nyt Maan massa ja säde on piilotettuina putoamiskiihtyvyyteen g). "Oikeassa" symmetrisessä yhtälössä korostuu Newtonin III laki, sekä sinuun että Maahan vaikuttaa yhtä suuri voima.
Katsotaan vielä hetki edellisen kappaleen esimerkkiä, jossa Jaana työnsi kaappia 68 N voimalla. Koska liike oli tasaista, päättelimme liikettä vastustavien voimien suuruudeksi 68 N. Jaanan työntövoiman vastavoima on "kaapin Jaanaan kohdistama voima" eli se mitä Jaana tuntee käsissään. Senkin suuruus on 68 N, Newtonin III lain mukaan. "Liikettä vastustavat voimat" ei siis ole työntövoiman vastavoima, vaan tarkoittaa kaapin ja lattian välistä kitkavoimaa sekä mahdollista ilmanvastusta.
Voimien yhteenlasku
Kappaleeseen vaikuttavan kokonaisvoiman avulla pääsemme siis käsiksi sen kiihtyvyyteen ja sitä kautta osaamme ennustaa kappaleen liikettä.
Toinen tärkeä asia, jonka voimme määrittää kokonaisvoiman (ja kuljetun matkan) avulla, on voiman tekemä työ. Kuten lämpöopissa opimme, työ näkyy kappaleen energian muutoksena. Kappaleen liikkeen ja energian välillä on siis yhteys, jota pääsemme hyödyntämään. Palaamme tähän hieman myöhemmin, tutkitaan ensin erilaisia voimia ja lasketaan niitä yhteen.
Voimat ovat vektoreita, joten niitä lasketaan yhteen vektorien yhteenlaskusäännöillä. Tämän materiaalin johdanto-osassa on käsitelty kahden vektorien yhteenlaskua kolmessa eri tapauksessa:
1. Voimat vaikuttavat samaan suuntaan tai vastakkaisiin suuntiin.
2. Voimat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
3. Voimat ovat jossain muussa kulmassa toisiinsa nähden.
Ensimmäinen tilanne on näistä helpoin. Samalla suoralla olevat voimat lasketaan yhteen joko laskemalla niiden summa (voimat samaan suuntaan) tai erotus (voimat vastakkaisiin suuntiin).
Jos voimat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, saadaan kokonaisvoiman pituus Pythagoraan lauseen avulla ja kokonaisvoiman suunta käyttämällä tangentti-funktiota
Voimien yhteenlaskussa kannattaa käyttää suorakulmaisia kolmioita.
Esimerkki: Työnnät kappaletta 20 Newtonin voimalla sivutuulessa, joka kohdistaa kappaleeseen 3 Newtonin voiman. Kuinka monen asteen poikkeaman tuuli aiheuttaa kappaleen saamaan kiihtyvyyteen?
Ratkaisu: Piirretään laatikkoon vaakasuunnassa vaikuttavat voimat ja niistä muodostuva suorakulmainen kolmio
Vaikuttavat voimat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kokonaisvoiman ja työntövoiman välinen kulma saadaan tangentin avulla
Vastaus: Laatikon saama kiihtyvyys on samaan suuntaan kuin kokonaisvoima, joten se muodostaa noin 9 asteen kulman työntösuuntaan nähden.
Vaikein tapaus on silloin, kun voimien välillä on jokin muu kulma kuin 0, 90 tai 180 astetta. Tällöin kannattaa edetä kolmessa osassa:
1. Jaetaan ensin toinen voimista kahteen komponenttiin. Toinen näistä tulee samansuuntaiseksi ja toinen kohtisuoraksi ongelman toista voimaa vastaan.
2. Lasketaan samansuuntainen komponentti yhteen toisen voiman kanssa
3. Saatu summavektori on kohtisuorassa jäljelle jääneen komponentin kanssa ja kokonaisvoima saadaan samalla tavoin kuin edellisessä esimerkissä käyttämällä Pythagoraan lausetta.
Voiman jakaminen kahteen komponenttiin vaatii jo sekin harjoittelua. Idea on käänteinen kahden kohtisuorassa toisiaan vastaan olevan vektorin summaamiselle. Jos suorakulmaisesta kolmiosta tiedetään molempien kateettien pituus, voidaan laskea hypotenuusan pituus ja kolmion kulmat. Jos taas tiedetään hypotenuusan pituus ja yhden kateetin ja hypotenuusan välinen kulma, voidaan laskea kateettien pituudet.
Voiman jakaminen vaakasuoraan ja pystysuoraan komponenttiin tapahtuu sinin ja kosinin avulla.
Kun tästä ratkaistaan voiman komponentit, saadaan
Esimerkki: Taulu, jonka massa on 1,5 kg, ripustetaan yhteen naulaan langalla, jonka pituus on 90 cm. Langan päät on kiinnitetty taulun reunoille 70 cm etäisyydelle toisistaan. Laske lankaan kohdistuvan jännitysvoiman suuruus.
Ratkaisu: Langan jännitysvoiman täytyy kumota taulun paino, jotta taulu pysyy seinällä. Painovoima ja langan jännitysvoima suuntautuvat kuitenkin eri suuntiin, kuten voimakuviosta alapuolelta nähdään.
Jotta voimia voidaan vertailla, kannattaa langan jännitysvoima T jakaa vaakasuoraan ja pystysuoraan osaan. Tämä on tehty toisessa kuvassa.
Langan jännitysvoima on samansuuruinen naulan molemmilla puolilla. Molemmat puolet vaikuttavat yhtä paljon taulun tukemiseen, joten niitä on (hieman epätarkasti) merkitty samalla symbolilla T.
Kummallakin puolella taulua komponenttivektorien summa antaa jännitysvoiman T.
Nyt pääsemme laskemaan vaakasuoria ja pystysuoria vektoreita yhteen. Jotta taulu pysyy paikallaan, täytyy sekä vaaka- että pystysuorassa olla:
Kaksi vaakasuoraa jännitysvoiman komponenttia kumoavat toisensa, sillä tilanne on symmetrinen. Meidän pitää siis huolehtia vain pystysuunnasta, jossa täytyy toteutua:
Tästä saamme laskettua jännitysvoiman y-komponentin. Koko jännitysvoiman suuruuden saamme käyttämällä hyväksemme tilanteen geometriaa ja trigonometrisia funktioita. Jännitysvoiman ja sen vaakasuoran komponentin välinen kulma (kuvassa α) saadaan annettujen mittojen avulla:
Kulman avulla voidaan vihdoin ratkaista T (samasta kuvasta):
Vastaus: Langan jännitysvoiman suuruus on noin 12 Newtonia.
Tehtävät
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. a) Kissa makaa sohvalla. Missä vuorovaikutuksissa ja minkä kappaleen kanssa kissa on? Mitkä ovat näiden vuorovaikutusten voima ja vastavoima? Piirrä kissan voimakuvio.
b) Tykinkuula lentää yläviistoon ilmassa. Missä vuorovaikuksissa ja minkä kappaleen kanssa tykinkuula on? Mitkä ovat näiden vuorovaikutusten voima ja vastavoima? Piirrä tykinkuulan voimakuvio.
Ks. mallivastaukset
2. Piirrä lattialla olevan muuttolaatikon voimakuvio, kun
a) laatikko on levossa, ja sitä ei työnnetä
b) laatikkoa työnnetään oikealle, mutta laatikko ei liiku
c) laatikkoa työnnetään oikealle, ja laatikko on kiihtyvässä liikkeessä
d) laatikkoa työnnetään oikealle, ja laatikko liikkuu tasaisella nopeudella
Ks. mallivastaukset
3. Kappaleen massa on 200 g ja se on kiihtyvässä liikkeessä. Laske kappaleeseen vaikuttava voima, kun kiihtyvyys on 2,5 m/s²
Noin 0,50 N
4. Kappaleeseen vaikuttaa kokonaisvoima 200 N ja sen massa on 2,0 kg. Mikä on kappaleen kiihtyvyys?
Noin 100 m/s²
5. Avaruusaluksen massa on 560 tonnia. Siinä on neljä moottoria, joista jokaisen työntövoima on 25000 N. Kuinka kauan avaruusalukselta kestää saavuttaa 10% valonnopeudesta? Oletetaan, että moottorien käyttö ei kevennä avaruusaluksen massaa.
Noin 5,3 a
6. Alapuoliseen kappaleeseen vaikuttaa voimat F₁ = 19 N, F₂ = 25 N, F₃ = 24 N. Kappaleen massa on 2,0 kg. Mikä on kappaleen saama kiihtyvyys ja mihin suuntaan kappale liikkuu?
10 m/s2, liikkeen suuntaa ei tiedetä
7. Auto, jonka massa on 980 kg, pysäytettiin nopeudesta 60 km/h tasaisella kiihtyvyydellä a = −0,80 m/s². Mikä oli jarruttavan voiman suuruus?
Noin 780 N
8. Kappaleeseen 1, jonka massa on 2,0 kg, vaikuttaa kokonaisvoima suuruudeltaan 20 N. Kuinka suuri voima tulisi vaikuttaa kappaleeseen 2, jonka massa on 3,5 kg, jotta se saisi saman kiihtyvyyden, kuin kappale 1?
Noin 35 N
9. Työnnät kappaletta 16 Newtonin voimalla sivutuulessa, joka kohdistaa kappaleeseen 4 Newtonin voiman. Kuinka monen asteen poikkeaman tuuli aiheuttaa kappaleen saamaan kiihtyvyyteen?
Vastaus: 14º
10. Laske alapuolisen systeemin saama kiihtyvyys, kun kappaleen massa on 20 kg.
Vastaus: 0,4 m/s2 oikealle
11. Laske alapuolisen systeemin saama kiihtyvyys, kun kappaleen A massa on 15 kg ja B massa on 5 kg.
Vastaus: 1 m/s2
12. Laske yläpuolisen systeemin langan jännitysvoima, kun kappaleen A massa on 15 kg ja B massa on 5 kg.
Vastaus: 5 N
13. Auto, jonka massa on 980 kg, hinaa mopoautoa, jonka massa on 320 kg. Hinaavaa autoa työntävä voima on 300 N vaakasuoralla tiellä. Laske hinausköyteen kohdistuva voima. Liikevastusvoimat ovat pienet.
Vastaus: 74 N
14. Laske yläpuolisen systeemin saama kiihtyvyys.
Vastaus: 1,0 m/s2 , 37 astetta vaakatasosta alaviistoon
15. Yläpuolinen kappale on ripustettu kahdella narulla kuvan mukaisesti. Laske narujen jännitysvoima
Vastaus: 113 N
16. Yläpuolinen kappale on ripustettu kahdella narulla kuvan mukaisesti. Laske narujen jännitysvoima
Vastaus: Kulman 𝛃 narun jännitysvoima on 71 N ja kulman 𝛂 narun jännitysvoima 160 N