Interferenssi ja diffraktio

Sähkömagneettiset aallot interferoivat ja diffraktoituvat aivan kuten mekaanisetkin aallot. Erilaiseksi ilmiön tekee aaltojen lyhyempi aallonpituus: esimerkiksi vesiaaltojen diffraktiota voi tutkia makroskooppisissa arkipäivän ilmiöissä, mutta valon erittäin lyhyt aallonpituus edellyttää tarkempia koejärjestelyjä. 

Keskenään interferoivat aallot muodostavat interferenssikuvion, josta löytyy maksimeja ja minimejä. Maksimit syntyvät niihin kohtiin, joissa interferoivien aaltojen huiput tai pohjat ovat kohdikkain. Minimit taas muodostuvat sinne, missä aallot sammuttavat toisensa, yhtä suuren amplitudin aalloissa siis silloin, kun huippu ja pohja ovat kohdakkain.

Jos tunnemme kummankin aallon aallonkorkeuden jokaisessa pisteessä, esimerkiksi tuntemalla aaltoja kuvaavat aaltofunktiot, voidaan interferenssiaalto määrittää superpositioperiaatteen avulla. Kuten varmasti muistat, superpositioperiaatteen mukainen summaaalto saadaan laskemalla yhteen interferoivien aaltojen korkeudet jokaisessa pisteessä. 

Ilmiötä voidaan tietenkin myös testata kokeellisesti (alla), jonka lisäksi valon interferenssikuvioita näkyy normaaleissa arkielämän tilanteissa. Esimerkiksi saippuakuplassa tai öljyläikässä näemme eri värejä riippuen kalvon muodosta ja katselukulmasta. Aina kun valoa läpäisevä kerros jotakin ainetta heijastaa valoa sekä kerroksen etupinnalta, että takapinnalta, syntyy näistä kahdesta heijastuksesta interferenssikuvio, jonka voimme havaita. Eri värit heijastuvat eri tavoin, jolloin valkoisen valon heijastuessa tällaisesta kerroksesta osa väreistä vahvistuu ja osa sammuttaa toisensa

Kahdesta pisteestä lähtevät palloaallot interferoivat. Aallonharjat on merkitty yhtenäisellä viivalla, aallonpohjat katkoviivalla. Missä kohdissa aallot vahvistavat toisiaan ja missä kohdissa ne kumoavat toisensa?

Valon kaksoisrakokoe

Tyypillinen koejärjestely interferenssin tutkimiseksi on kaksoisrakokoe, jossa valo (tai mikä tahansa muu aaltoliike) ensin diffraktoituu kahdesta vierekkäisestä raosta muodostaen kaksi pallomaista aaltoa, joiden summa-aaltoa tutkitaan. Koe onnistuu parhaiten silloin, kun käytetään vain yhtä aallonpituutta sisältävää, eli monokromaattista, valoa ja rakojen välinen etäisyys on samaa suuruusluokkaa kuin käytetyn valon aallonpituus. Esimerkiksi punaisessa laserissa aallonpituus on noin 700 nm, joten rakojen välisen etäisyyden tulisi olla lähellä tätä. 

Valolla koejärjestely tehdään usein hilalla, jossa on kahden raon  asemesta useita vierekkäisiä rakoja. Erilaisia hiloja kuvataan hilavakiolla d, joka on vierekkäisten rakojen etäisyys. Jos hilassa lukee esimerkiksi ”600 viivaa/mm,” on d tämän käänteisluku

”Läpäisyhilassa” valo kulkee hilan läpi, kun taas ”heijastushilassa” valo heijastuu vierekkäisistä urista (esim. CD-levy on heijastushila). Kaikki laskut lasketaan molemmille hiloille samalla tavalla.

Seuraavaksi haluamme ennustaa minne interferoineen valon maksimit syntyvät kaksoisraon takana, esimerkiksi etäisyydelle l asetetulla varjostimella, kun käytämme hilaa (hilavakio d) ja monokromaattista valoa (aallonpituus λ). 

Vierekkäisistä raoista (rakojen etäisyys d) lähtevät diffraktoituneet valonsäteet lähtevät samassa vaiheessa, eli kummassakin on esimerkiksi maksimi samaan aikaan. Tällöin varjostimelle syntyy yksi maksimi, niin kutsuttu keskusmaksimi, rakojen keskikohdan kohdalle, koska keskilinjalla aallot vahvistavat aina toisiaan. Seuraava maksimi, eli ensimmäinen sivumaksimi löytyy siitä kohdasta, missä toinen aalloista on ehtinyt kulkea yhden täyden aallonpituuden enemmän kuin toinen. Haluamme tietää kuinka kaukana tämä sivumaksimi on keskusmaksimista (kuvassa tämä etäisyys on x). 

Meidän täytyy tehdä (fysiikalle tyypillinen) temppu, jotta saamme johdettua halutun lausekkeen. Varjostimen etäisyys raoista l on paljon suurempi kuin rakojen välinen etäisyys d. Tästä seuraa, että kuvaan piirretyt janat r ja r0 ovat keskenään lähes yhtä pitkät ja lähes yhdensuuntaiset. Tästä seuraa, että kuvassa oleva suuri kolmio, joka muodostuu janoista l, x ja r on lähes yhdenmuotoinen pienen kolmion kanssa, jonka toinen kateetti on aallonpituuden mittainen ja jonka hypotenuusan pituus on d.

Tehdyn oletuksen rajoissa voimme kirjoittaa kulmalle α:

Tarkista itse mistä yhdenmuotoisuus seuraa, niin muistat sen paremmin.

Kuvaan on piirretty vain keskusmaksimi ja toisen puolen ensimmäinen sivumaksimi. Sivumaksimit tulevat symmetrisesti keskusmaksimin molemmille puolille.

Yhtälössä λ on interferoivien aaltojen matkaero ensimmäiselle sivumaksimille. Jos haluamme vastaavan yhtälön toiselle sivumaksimille, pitää tämä matkaero kaksinkertaistaa

Tämä pätee muillekin sivumaksimeille, joten sivumaksimille numero k pätee

Tämä löytyy taulukkokirjoista nimellä hilayhtälö:

Ole tarkkana ettet sekoita hilayhtälöä (myöhemmin käsiteltävään) ”Braggin lain” lausekkeeseen. Kyseessä on samanlaiset ilmiöt, mutta tilanteen geometriasta johtuen Braggin laissa on ”ylimääräinen” kakkonen. (Braggin laki: 2dsinα = kλ)

Hilayhtälöstä näemme, että diffraktiokulma α riippuu käytetyn valon aallonpituudesta. Määrittämällä tämän kulman voimme siis määrittää valon aallonpituuden. Toisaalta voimme ennustaa, että valkoinen valo tulee hajaantumaan sateenkaaren eri väreihin, sillä eri värit diffraktoituvat eri suuntiin.

Esimerkki: CD-levy toimii heijastushilana. Etsitään urien välinen etäisyys käyttämällä punaista laseria (λ = 700 nm). Metrin päässä hilasta olevalle varjostimelle syntyy interferenssimaksimeja, joissa keskusmaksimin ja 3. sivumaksimin etäisyys on 57 cm. Määritä hilavakio d.

Ratkaisu: Varjostin on metrin päässä ja 3. sivumaksimi 0,57 metrin etäisyydellä keskusmaksimista. Lasketaan tätä vastaava diffraktiokulma

Nyt voimme ratkaista hilayhtälöstä hilavakion

Vastaus: CD-levyn hilavakio eli vierekkäisten rakojen välinen etäisyys on noin 4,2 µm.

Esimerkki: Käytetään punaista laseria (λ = 700 nm) ja läpäisyhilaa, jossa on 600 viivaa/mm. Kuinka monta maksimia on varjostimelle syntyvässä interferenssikuviossa?

Ratkaisu: Interferenssimaksimeja syntyy varjostimelle, kunhan diffraktiokulma α < 90°. Ratkaistaan hilayhtälöstä tätä rajakulmaa vastaava sivumaksimin numero k, kun hilavakio tunnetaan:

Jos etsisimme kolmatta sivumaksimia, olisi diffraktiokulma suurempi kuin 90 astetta, mikä ei ole mahdollista. Syntyy siis vain kaksi sivumaksimia (keskusmaksimin kummallekin puolelle), jolloin sivumaksimien kokonaismäärä on 

 n = 1+2+2 = 5

Vastaus: Interferenssimaksimeja on yhteensä 5.

Yleisimmät väärät vastaukset ovat 2, 3 ja 4. Mieti miksi.

Tehtävät

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

1. Monokromaattinen valo osuu kaksoisrakoon. Rakojen väli on 0,5 mm. Varjostin on 4 metrin päässä raosta. kolmannen kertaluvun intensiteettimaksimien välinen etäisyys on 2 cm. Mikä on monokromaattisen valon aallonpituus? 

λ ≈ 4,17 · 10⁻⁷ m 

2. Valkoinen valo saapuu kruunulasiin 50 asteen tulokulmassa. Dispersion vaikutuksesta valkoinen valo hajaantuu väreiksi. Laske eniten taittuneen ja vähiten taittuneen valon taitekulmien erotus. Ilman taitekertoimena voit käyttää arvoa 1,00 kaikille väreille. (Vihje: taitekertoimia löydät taulukkokirjasta.) 

0,39 astetta

3. Laser (monokromaattinen valo) suunnataan hilan läpi varjostimelle. Hilassa on 750 rakoa/mm ja varjostin on 2,5 metrin päässä hilasta. Toisen kertaluvun intensiteettimaksimi on 2,0 metrin päässä varjostimen keskipisteestä. 

a) Laske hilavakio.

b) Laske laserin aallonpituus. 

a) 1,33 · 10⁻⁶ m 

b) 420 nm

4. Selitä lyhyesti värien synty seuraavissa tilanteissa. 

a) Kun valkoinen valo osuu prismaan, ulos tulee suuntaa muuttanut viuhkamainen, monivärinen valo (kuva 1). 

b) Vesilätäkön pinnalla kelluvassa öljyläikässä näkyy värejä (kuva 2).

 [YO S2015, t.4] 

a) Prismaan kohdistetaan valkoista valoa. Valkoinen valo sisältää koko näkyvän valon spektrin. Eli valkoinen valo sisältää eri valon aallonpituuksia. 

Valo taittuu ilman ja lasin rajapinnassa. Eli valo muuttaa suuntaansa mennessään prismaan ja tullessaan sieltä ulos.

 Valon taitekerroin materiaalissa on riippuvainen valon aallonpituudestä. Pienin aallonpituus on violetilla valolla ja sen taitekerroin on suurin. Punaisen valon aallonpituus on suurin, joten sen taitekerroin on pienin. Tämä tarkoittaa, että violetti valo taittuu eniten ja punainen valo vähiten. Eri värinen valo taittuu siis eri verran. Tämän takia prisma hajoittaa valkoisen valon näkyvän valon spektriksi. 

b) Katso malliratkaisut.