Embedded Files
Tiheyden mittaus
Tiheyden mittaus
Tutkitaan kahta eri ainetta, vettä ja glyserolia, ja tarkastellaan miten niiden massa riippuu käytetystä tilavuudesta. Tehdään mittaus, jossa asetetaan riittävän tarkalla asteikolla varustettu mittalasi vaa'alle ja mitataan aineen massa ja tilavuus. Mittalasin massa on helpointa poistaa taaraamalla vaaka ensin.
Voit piirtää kuvaajan itse samalla ohjelmalla, tässä linkki ilmaisversioon:
Jo silmämääräisesti nähdään, että glyseroli on jollain tavalla vettä ”raskaampaa”, sillä saman tilavuuden massa on aina veden massaa suurempi. Tämän ajatuksen tarkentamiseksi määritämme mikä on yhden millilitran massa kummallekin aineelle ja vertaamme niitä keskenään. Tätä suuretta kutsutaan aineen tiheydeksi.
Tehdään mittaustuloksista (V,m) -kuvaaja, eli asetetaan tilavuus vaaka-akselille ja massa pystyakselille. Aluksi kannattaa piirtää muutama harjoitustehtävien kuvaajista kynällä ja paperilla, sillä se auttaa ymmärtämään ja muistamaan paremmin, mitä tässä tapahtuu. Myöhemmin tällaiset kuvaajat tehdään tietokoneella, kuten tässä Graphical Analysis Pro -ohjelmaa käyttämällä.
Ennen kuin piirrämme kuvaajan, voimme täydentää mittaustuloksia lisäämällä molemmille aineille massat 0 g tilavuudella 0 ml, tämä tekee tuloksista hieman tarkempia. Emme mitanneet tätä, mutta se on turvallinen oletus, sillä jos ei ole ainetta, ei ole myöskään massaa.
Kun mittaustulokset viedään ohjelmaan, kuvaaja ilmestyy automaattisesti
Suureiden nimet ja yksiköt pitää lisätä käsin "sarakkeen ominaisuudet" -kohdasta jokaisen mittaustulosten sarakkeen kolmesta pisteestä (oikealla ylhäällä). Tämän jälkeen y-akselin otsikkoa painamalla lisätään näkyviin myös toinen suure (ohjelma lisää kuvaajaan automaattisesti vain yhden aineen mittaustulokset). Saadun kuvaajan pitäisi näyttää tältä:
Seuraavaksi haluamme tehdä graafisen mallin kuvaamaan massan riippuvuutta tilavuudesta. Koska pisteet näyttäisivät asettuvan suoralle, tehdään pistejoukkoon suoran sovitus, eli lineaarinen malli. Tässä ohjelmassa sellainen saadaan valitsemalla vasemmasta alakulmasta ”Käyrän sovitus” → ”Lineaarinen”.
Näitä suoria voi käyttää ennusteiden tekemiseen. Voit esimerkiksi lukea suoralta mitkä olisivat 5 ml tilavuutta vastaavat massat (vaikka näitä ei mitattu). Ohjelma palauttaa meille myös kummankin suoran kulmakertoimen, joka kertoo meille kuinka paljon pystyakselin suure kasvaa, jos vaaka-akselin suure kasvaa yhdellä. Fysikaalisesti tämä kertoo kuinka montaa grammaa massa kasvaa, kun lisäämme yhden millilitran.
Kulmakertoimiksi saadaan
Mittauspisteiden välisten arvojen lukemista kutsutaan interpoloinniksi (inter tarkoittaa välissä) ja pistejoukon ulkopuolelle mentäessä puhutaan ekstrapoloinnista (eksta tarkoittaa ulkopuolella).
Nyt on hyvä aika kerrata materiaalin alussa oleva tiivistelmä suoran kulmakertoimesta.
Tuloksista nähdään, että yhden glyserolimillilitran massa on hieman suurempi kuin veden. Tämä on aineen tiheys. Tiheydelle käytetään tavallisesti symbolia ρ ja sen SI-yksikkö on kg/m^3. Tässä yksikössä mittaustuloksemme olisivat (tee harjoituksen vuoksi yksikönmuunnos itse):
Graafista mallia koskevissa tehtävissä on muutamia tyypillisiä virheitä, joita kannattaa välttää:
Kun piirrät koordinaatiston käsin, varmista että akseleilla olevat suureet muuttuvat tasaisesti. Laita ensin akseleille mitta-asteikko ja vasta sen jälkeen vie mittauspisteet koordinaatistoon.
Muista laittaa suureet ja käytetyt yksiköt akseleille, jotta lukija tietää mitä kuvaajassa on.
Sovita mittauspisteisiin käyrä, älä vain yhdistä pisteitä murtoviivalla.
Kun vastaat ilmiötä koskeviin kysymyksiin, käytä sovittamaasi käyrää (graafista mallia), äläkä mittauspisteitä.
Matemaattinen malli
Matemaattinen malli
Tehdään tästä vielä matemaattinen malli. Kuvaajassa laitoimme tilavuuden vaaka-akselille ja massat pystyakselille, jonka jälkeen meillä oli suora (V,m)-koordinaatistossa. Vertaa tätä matematiikasta tuttuun suoraan (x, y)-koordinaatistossa, missä x on vaaka-akselilla ja y pystyakselilla. Suoran yhtälö on
missä k on kuvaajan kulmakerroin ja b on y-akselin leikkauspiste. Mittauksessamme suorat leikkaavat y-akselin lähellä origoa, joten b ≈ 0 ja kulmakertoimet ovat aineiden tiheydet. Tehdään vertailu, kun b = 0:
Aivan kuten (x, y)-koordinaatistoon piirretyn suoran kulmakerroin on k, on (V,m)-koordinaatistoon piirretyn suoran kulmakerroin ρ. Silloin suoran yhtälö on
Tämä on matemaattinen malli, jonka avulla voimme laskea minkä tahansa siinä esiintyvän suureen arvon, jos tiedämme kahden muun suureen arvot. Esimerkiksi glyserolin massa tilavuudelle V = 2,6 m^3
Tämä on kokeellisesti määrittämäämme glyserolin tiheyteen perustuva ennuste, jota voisimme verrata kokeellisesti mitattuun tulokseen.
Esimerkki: Aineen massaksi mitataan 670 grammaa, kun sen tilavuus on 320 millilitraa. Mikä on aineen tiheys SI-yksiköissä?
Ratkaisu: Ratkaistaan ensin tiheys yllä olevasta yhtälöstä
sijoitetaan arvot ja saadaan
Vastaus: Aineen tiheys on noin 2100 kg/m^3 .
Mittaustulosten analysointi: Graphical Analysis Pro
Mittaustulosten analysointi: GeoGebra
LibreCalc-ohjelmassa tehtävään graafiseen malliin voit tutustua täältä youtu.be/fZs_cjD8m1E?si=TR5V0TBT2RrVaNhp
TEHTÄVÄT
TEHTÄVÄT
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Opiskelija mittasi samasta aineesta tehtyjen kappaleiden tilavuudet ja massat.
a) Tee mittaustuloksista graafinen malli. Laita tilavuus vaaka-akselille ja massa pystyakselille.
b) Määritä aineen tiheys yksiköissä g/cm³ ja kg/m³.
c) Mikä aine voi olla kyseessä? Käytä taulukkokirjaa.
a) Katso malliratkaisut.
b) noin 2,7 g/cm³ = 2700 kg/m³
c) alumiini
2. Ämpäriin valuu vettä hanasta. Kuvaaja näyttää, kuinka veden tilavuus V muuttuu ajan t kuluessa.
a) Kuinka paljon vettä ämpärissä oli alussa?
b) Määritä suoran kulmakerroin. Muista yksikkö.
c) Mitä kulmakerroin kertoo tässä tilanteessa?
d) Kirjoita mallin yhtälö. Laske sen avulla, kuinka paljon vettä ämpärissä on 30 sekunnin kuluttua.
a) 2,0 l
b) 0,40 l/s
c) Ämpäriin tulee joka sekunti 0,40 l vettä.
d) V = 0,40 l/s · t + 2,0 l; 14 l
3. Jouseen ripustettiin punnuksia. Taulukossa on punnusten massa m ja jousen venymä x.
a) Tee mittaustuloksista graafinen malli. Laita massa vaaka-akselille. Määritä suoran kulmakerroin.
b) Mitä kulmakerroin kertoo tässä tilanteessa?
c) Kirjoita mallin yhtälö.
d) Esine venyttää jousta 7,0 cm. Mikä on esineen massa?
a) noin 0,040 cm/g
b) Jousi venyy 0,040 cm jokaista grammaa kohti.
c) x = 0,040 cm/g · m
d) noin 180 g
4. Kynttilä palaa. Sen pituus L mitattiin 10 minuutin välein.
a) Tee mittaustuloksista graafinen malli ja määritä suoran kulmakerroin. Mitä kulmakertoimen miinusmerkki tarkoittaa?
b) Kuinka pitkä kynttilä oli mallin mukaan 25 minuutin kohdalla?
c) Milloin kynttilä on mallin mukaan palanut loppuun?
d) Taulukon mukaan kynttilän pituus oli 30 minuutin kohdalla 11,7 cm. Mallin mukaan pituus on 11,6 cm. Kumpaa arvoa kannattaa käyttää? Perustele.
a) noin −0,11 cm/min; kynttilä lyhenee.
b) noin 12,2 cm
c) noin 130 min
d) Mallin arvo 11,6 cm, koska malli perustuu kaikkiin mittauksiin.
Page updated
Google Sites
Report abuse