Kiihtyvä liike

Kiihtyvä liike ja kiihtyvyys

Edellisessä luvussa katsoimme Matin tasaista liikettä, Matti kulki koko ajan samalla nopeudella v = 1,32 m/s . Se on tietenkin vain yksinkertaisin mahdollinen tapaus: nopeuden suunta sekä suuruus pysyvät koko ajan samoina. Pidämme yksinkertaisuuden vuoksi nopeuden suunnan edelleen vakiona, mutta lähdemme muuttamaan sen suuruutta.

Katsotaanpa hetken aikaa seuraavaa kuvaajaa, jossa on kuvattu kahden kappaleen (A ja B) liikettä ajan funktiona

A ja B lähtevät molemmat hetkellä t = 0 s kohdasta x = 0 m. Ne kohtaavat hetkellä t = 6 s kohdassa x = 5 m. Kappaleen B liike on meille tuttua tasaista liikettä: sen kuvaaja on suora, joten nopeus pysyy koko ajan samana. Koska B liikkuu aina kuuden sekunnin aikana viisi metriä, voimme laskea B:n nopeuden

Kuvaajasta näemme myös, että esimerkiksi ensimmäisen sekunnin aikana A on liikkunut hitaammin kuin B. Kuuden sekunnin jälkeen A on kuitenkin saanut B:n kiinni, joten A:n nopeuden on täytynyt alun jälkeen kasvaa. A:n nopeus ei pysy vakiona, joten A on kiihtyvässä liikkeessä.

Miten voisimme kuvata sitä, että A ja B kulkevat ensimmäisen kuuden sekunnin aikana saman matkan? A:n nopeus on ensin pienempi ja sitten suurempi kuin B:n, mutta molemmilla on tällä välillä sama keskinopeus. Molemmat kulkevat ensimmäisen 6 sekuntia keskimääräisellä nopeudella

Tässä esimerkissä nopeus kasvaa, mutta kiihtyvästä liikkeestä voi puhua aina kun nopeus muuttuu, hidastuva liike on siis myös kiihtyvää liikettä.

Kappaleen A nopeus kasvaa, joten katsotaanpa miten voisimme arvioida kappaleen A nopeutta eri ajanhetkillä. Jos katsomme äsken tekemäämme keskinopeuden määrittämistä, otimme siinä jonkin aikavälin ja tässä ajassa kuljetun matkan, joiden avulla saimme keskinopeuden. Tämä voidaan tietenkin tehdä myös pidemmille tai lyhyemmille aikaväleille. Jos kysyisimme keskinopeutta vaikkapa välillä 0 s ... 2 s, saisimme samalla tavoin kuin yläpuolella tulokseksi

Hetkellinen nopeus saadaan rajatapauksena, kun aikaväli kutistetaan äärettömän pieneksi. Tällöin kuvassa näkyvä suora sivuaa A:n liikkeen käyrää. Tällaista suoraa sanotaan käyrän tangentiksi, ja sen kulmakerroin antaa kappaleen hetkellisen nopeuden. A:n tapauksessa voidaan määrittää nopeudet hetkillä t = 0 s ja t = 6 s suoraan GeoGebralla.

Myöhemmin matematiikassa opimme, että funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion "derivaatta" tuossa kohdassa. Tässä tapauksessa nopeus on siis paikan derivaatta.

GeoGebra antaa käyrää sivuavien suorien yhtälöt, joista luetaan kulmakertoimet eli halutut hetkelliset nopeudet v(t = 0s) ≈ 0,30 m/s ja v(t = 6s) ≈ 1,8 m/s.

Tasaisesti kiihtyvä liike

Kiihtyvän liikkeen yksinkertaisin tapaus on sellainen, jossa nopeus kasvaa (tai pienenee) tasaisesti. Otetaan esimerkkinä vaikka kaltevaa pintaa pitkin rullaavan kuulan nopeuden mittaus sekunnin välein: Kuulan nopeus on alussa v = 0 m/s ja kasvaa jokaisen sekunnin aikana 0, 6 m/s . Tällöin sanotaan, että kuulan "kiihtyvyys" on

Tarkemmin sanottuna tämä on kiihtyvyyden suuruus, sillä kiihtyvyydellä on aina myös suunta. Tässä tapauksessa kiihtyvyyden suunta on sama kuin liikkeen suunta.

Kiihtyvyyden yksikkö m/s² saattaa aluksi tuntua hankalalta. Se on paljon helpompi muistaa, jos ajattelet sen tarkoittavan (m/s)/1s eli kuinka monta metriä sekunnissa nopeus muuttuu yhden sekunnin aikana.

Voimme piirtää kuulan liikkeestä erilaisia kuvaajia. Jos piirrämme (aika, nopeus) -kuvaajan, mittaustulokset asettuvat jälleen suoralle. Kiihtyvyys on tämän suoran kulmakerroin, se kertoo kuinka nopeasti liike muuttuu.

Huomaa, että kiihtyvyys ei aina ole liikkeen suuntaan. Esimerkiksi, jos kappaleen liike hidastuu, sen kiihtyvyys on päinvastainen kuin liikkeen suunta. Jos kappale kääntyy, sen kiihtyvyys on liikettä vastaan kohtisuorassa jne.

Jos kiihtyvyys ei ole tasaista, tulee tilanteesta vielä hieman hankalampi (eikä sitä käsitellä tällä kurssilla). Tällaisessa tapauksessa voimme jälleen puhua keskikiihtyvyystä (kuten keskinopeudesta), joka lasketaan samalla tavoin nopeuden muutoksen ja siihen käytetyn ajan avulla. Jos taas haluamme hetkellisen kiihtyvyyden, meidän tarvitsee katsoa (t,v)-kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. (Kiihtyvyys on siis nopeuden derivaatta.)

Jos taas mittaisimme kuulan paikkaa sekunnin välein, tuloksena ei voi olla suora, sillä kuulan paikka muuttuu sitä nopeammin, mitä pidemmälle ajassa mennään. Tätä ei tarvitse osata laskea, mutta tuloksena olisi seuraavanlainen paraabelin puolikas.

Tärkeää on siis huomata mitä missäkin kuvaajassa on piirretty, erityisesti mitkä suureet löytyvät koordinaattiakseleilta (ja missä yksikössä). Yleisimmät vastaan tulee (t, x)-kuvaaja sekä (t, v)-kuvaaja, mutta muitakin on toki olemassa. Muista siis syventyä jokaiseen kuvaajaan aina erikseen sen sijaan, että vastaisit tehtävään ensimmäisen mieleesi tulevan asian.

Esimerkki: Määritä seuraavasta kappaleiden A ja B liikkeen kuvaajasta

a) kappaleiden nopeudet

b) kumpi kappaleista liikkuu nopeammin

c) kappaleiden kiihtyvyydet

Ratkaisu:

a) Etsitään kummastakin suorasta kulmakerroin, eli katsotaan kuinka monta metriä kappale liikkuu yhden sekunnin aikana

Kappale A: Muistikolmioista välillä t = 1s ... 5s katsottu kappaleen A nopeus

Kappale B: Muistikolmioista välillä t = 1s ... 2s katsottu kappaleen B nopeus

(Huomaa kuinka kappaleen B paikka on muuttunut vastakkaiseen suuntaan kuin A:n paikka.)

b) Kappaleen A nopeuden suuruus on 0,5 m/s, kappaleen B nopeuden suuruus 1 m/s. B kulkee nopeammin. Miinusmerkki B:n nopeudessa tarkoittaa, että B kulkee vastakkaiseen suuntaan.

c) Kummankin kappaleen nopeus pysyy vakioina (nopeus ei muutu), joten kummankin kappaleen kiihtyvyys on nolla.

TEHTÄVÄT

Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.

MALLIRATKAISUT

Tasaisesti kiihtyvä liike

1. Allaolevan taulukon arvot saatiin mittaamalla putoavan kiven liikettä. Muodosta liikkeestä graafinen malli ja määritä mallin avulla kiven putoamiskiihtyvyys.

9,73 m/s²

2. Auto kiihdytti levosta tasaisella kiihtyvyydellä 5,0 m/s². Kuinka suuren nopeuden auto saavutti 5,0 sekunnissa? Anna vastaus yksikössä km/h.

v=90 km/h

3. Lentokone saavutti lentoonlähtönopeuden 300 km/h tasaisesti kiihdyttäen levosta 6,0 sekunnin aikana. Mikä oli lentokoneen kiihtyvyys?

Noin 14 m/s²

4. Määritä kappaleen kiihtyvyys alla olevasta kuvaajasta.

a=0,5 m/s²

5. Kuinka kauan kestää saavuttaa nopeus 100 km/h kiihtyvyydellä 4,6 m/s²?

Noin 6,0 sekuntia

6. Auto törmää pensasaitaan nopeudella 60 km/h. Liike pysähtyy 0,4 sekunnissa. Laske auton kiihtyvyys törmäyksessä. Oletetaan hidastuvuus tasaiseksi.

a=-42 m/s²

7. Pyöräilijä polkee tasaisella nopeudella 18,0 km/h. Ylämäessä hänen nopeutensa pienenee kiihtyvyydellä 0,50 m/s² neljän sekunnin ajan. Tämän jälkeen hän jatkaa tasaisella nopeudella matkaa. Mikä oli hänen nopeus tällöin?

v=10,8 km/h

8. Auton nopeus on 40 km/h. Alamäessä nopeus lisääntyy tasaisella kiihtyvyydellä 1,5 m/s² 6,0 sekunnin ajan. Mikä oli auton nopeus mäen alla?

v=72 km/h

Page updated

Google Sites

Report abuse